平面的仿射变换

定义

定义平面的一个点变换τ，如果它在一个仿射坐标系中的公式为

\[\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix} \]

其中系数矩阵\(A=(a_{ij})\)是非奇异的（即\(|A|\neq 0\)），则称τ是平面的仿射（点）变换.

tips: 定义与仿射坐标系的选取无关，与正交变换区别是正交变换要求系数矩阵A是正交矩阵，而方式变换只要求A是非奇异的. 当然，正交矩阵是非奇异的，所以正交变换是一种特殊的仿射变换.

放缩变换

平面向着直线l的压缩（拉伸）：
设l的方向\(\bm{e_1}\)，在l上取一点O，建立仿射坐标系\([O;\bm{e_1,e}]\)，其中\(\bm{e}\)是事先给定的一个方向向量.

P(x,y)是平面上任一点，规定平面的点变换τ，将P点映射到P'，满足坐标变换：

\[\begin{cases} x'=x\\ y'=ky \end{cases} \]

其中，k是正的常数（k>0且与P无关），则称τ是平面沿方向\(\bm{e}\)向着直线l的压缩（拉伸），称k是压缩（拉伸）系数.
当0<k<1时，是压缩变换；
当k>1时，是拉伸变换；
但k=1时，是恒等变换.

如果\(\bm{e}⊥l\)，则称τ是正压缩（拉伸）；如果\(\bm{e}\not ⊥l\)，则称τ是斜压缩（拉伸）.

坐标变换方程组对应的系数矩阵：

\[A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & k \end{pmatrix} \]

显然，|A|=k≠0，即A是非奇异的，因此τ是仿射变换. 当k=1时，τ是正交变换.

重要性质

仿射变换的乘积是仿射变换；
恒等变换是仿射变换；
反射变换可逆，且逆变换是仿射变换；
仿射变换把直线变成直线；
仿射变换把平行直线变成平行直线；

tips: 非奇异矩阵可逆.

不同于正交变换，仿射变换下，两点之间距离会改变.

仿射变换把直线变成直线=>仿射变换将共线3点变换成共线3点
又仿射变换可逆=>不共线的3点，仿射变换后依然不共线.

点与向量的仿射变换

定义设A、B、C三点共线，在该直线上取一单位向量\(\bm{e}\)，如果\(\overrightarrow{AB}=\lambda \bm{e}\)，则称λ是线段AB的代数长，用AB表示线段AB的代数长. 称\(\frac{AB}{BC}\)为共线三点A、B、C的简单比值，记作(A,C,B)，即

\[(A,C,B):=\frac{AB}{BC} \]

tips: 简单比值也可看成线段的分比.

定理仿射变换保持共线三点的简单比值不变.

证明：任取平面上共线三点A、B、C，以它们所在直线为x轴，建立直角坐标系. 设A、B、C横坐标分别为\(x_1,x_2,x_3\).

1.作仿射变换τ：将A、B、C分别变换成A'、B'、C'，由仿射变换性质知，A'、B'、C'共线.

2.再作正交变换σ：将A'、B'、C'所在直线l'变换成x轴，其中，A'、B'、C'分别变换成A''、B''、C''. 设A''、B''、C''横坐标分别为\(x_1'',x_2'',x_3''\).

设σ为：

\[σ: \begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix} \]

στ将A、B、C变换成A''、B''、C''，所以

\[\begin{pmatrix} x_i''\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_i\\0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix},i=1,2,3 \]

可得

\[x_i''=b_{11}x_i+b_1,i=1,2,3 \]

\[\frac{A''B''}{B''C''}=\frac{x_2''-x_1''}{x_3''-x_2''}=\frac{b_{11}x_2-b_{11}x_1}{b_{11}x_3-b_{11}x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\frac{AB}{BC} \]

也可以写成\((A'',C'',B'')=(A,C,B)\).

推论仿射变换把线段变成线段，并且保持线段的分比不变.

证明：正交变换也有类似结论，证明过程类似.

数学描述：设M是直线PQ上一点，仿射变换σ将点P、M、Q变换到P'、M'、Q'.
由仿射变换性质知，P'、M'、Q'仍共线.
由仿射变换保持共线三点的简单比值知，\(\frac{P'M'}{M'Q'}=\frac{PM}{MQ}\)
可知，不管M是PQ内分点，还是外分点，结论都成立.
即得证.

仿射向量变换

与正交变换类似，正交点变换引起平面的一个正交向量变换，仿射点变换τ也会引起平面的一个仿射向量变换，记为\(\overline{τ}\)：

\[\begin{pmatrix} u'\\v' \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u\\v \end{pmatrix} \]

其中，平面上任一向量\(\bm{m}=(u,v)\)，仿射变换后向量\(\bm{m'}=\overline{τ}(\bm{m})\)；系数矩阵A是非奇异的.

证明很简单，可参见正交点变换引起向量变换的证明.

仿射标架的仿射变换

定理仿射变换τ将任一仿射标架Ⅰ变换成另一仿射标架Ⅱ，且任一点P的Ⅰ坐标等于它的象P'的Ⅱ坐标.

tips: 正交变换也有类似定理.

证明：
设仿射标架\(Ⅰ[O;\bm{e_1,e_2}]\)，仿射变换τ下，原点O的象为O'，基向量的象为\(\bm{e_1',e_2'}\)，记为\(\bm{e_i'},i=1,2\).
设\(\bm{e_i}=\overrightarrow{OA_i}\)，\(A_i\)在τ下的象为\(A_i'\)
有

\[\begin{aligned} \bm{e_i'}&=\overline{τ}(\bm{e_i}),i=1,2\\ &=\overline{τ}(\overrightarrow{OA}_i)\\ &=\overrightarrow{O'A_i'}(仿射向量变换) \end{aligned} \]

Ⅰ的基向量\(\bm{e_1,e_2}\)不共线，但它们象\(\bm{e_1',e_2'}\)是否共线呢？（如果后者共线，就不能作为仿射标架的基）
可通过考察点\(O'、A_1'、A_2'\)是否共线来判断. 由仿射变换性质知，\(O、A_1、A_2\)不共线，因此变换后的象\(O'、A_1'、A_2'\)也不共线，所以\(Ⅱ[O';\bm{e_1',e_2'}]\)也是一个仿射标架.

设任一点P的Ⅰ坐标为(x,y)，有\(\overrightarrow{OP}=x\bm{e_1}+y\bm{e_2}\)
两边进行τ变换：

\[\overline{τ}(\overrightarrow{OP})=\overline{τ}(x\bm{e_1}+y\bm{e_2})=x\overline{τ}(\bm{e_1})+y\overline{τ}(\bm{e_2})=x\bm{e_1'}+y\bm{e_2'} \]

∴P'的Ⅱ坐标为(x,y).

tips: 这里运用了仿射向量变换的加法、数乘性质，证法简单，与正交向量变换一致，可参见解析几何笔记：平面的正交变换的“正交向量变换的运算性质”部分.

定理平面上任给两组不共线的三个点：\(A_1,A_2,A_3\)和\(B_1,B_2,B_3\)，则存在唯一一个仿射变换把\(A_i\)变成\(B_i,i=1,2,3\).

证明：
存在性.
∵\(A_1,A_2,A_3\)不共线
∴\(\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow{A_1A_3}\)可以作为仿射标架的一组基，即\(Ⅰ[A_1;\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow{A_1A_3}]\)是仿射标架

同理，\(Ⅱ[B_1;\overrightarrow{B_1B_2},\overrightarrow{B_1B_3}]\)也是仿射标架.

为了简化写法，令\(\bm{e_1}=\overrightarrow{A_1A_2},\bm{e_2}=\overrightarrow{A_1A_3},\bm{e_1'}=\overrightarrow{B_1B_2},\bm{e_2'}=\overrightarrow{B_1B_3}\). 于是，\(Ⅰ[A_1;\bm{e_1,e_2}],Ⅱ[B_1;\bm{e_1',e_2'}]\).

设\(B_1\)的Ⅰ坐标\((x_b,y_b)\)（\(A_1\)的Ⅰ坐标\((0,0)\)）.

设Ⅰ的基到Ⅱ的基的过渡矩阵为A，则：

\[\begin{pmatrix} \bm{e_1'}\\ \bm{e_2'} \end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} \bm{e_1}\\ \bm{e_2} \end{pmatrix} \]

写成方程组形式：

\[\bm{e_1'}=A\bm{e_1},\bm{e_2'}=A\bm{e_2} \]

知过渡矩阵可逆，即对应行列式非0（|A|≠0）.

作平面上的变换τ，将任一点P映射到P'，设P的Ⅰ坐标(x,y)，P'的Ⅱ坐标等于P的Ⅰ坐标. 设P'的Ⅰ坐标(x',y'). 有

\[\begin{aligned} \overrightarrow{B_1P'}&=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}_Ⅱ =x\bm{e_1'}+y\bm{e_2'}=xA\bm{e_1}+yA\bm{e_2} =A\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}_Ⅰ\\ \overrightarrow{A_1P'}&=\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1P'}\\ &=\begin{pmatrix} x_b\\y_b \end{pmatrix}_Ⅰ +\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}_Ⅱ\\ &=\begin{pmatrix} x_b\\y_b \end{pmatrix}_Ⅰ+A\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}_Ⅰ =\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}_Ⅰ \end{aligned} \]

于是，我们得到Ⅰ仿射标架下P到P'的坐标变换τ：

\[\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} x_b\\y_b \end{pmatrix} \]

∵系数矩阵A是非奇异矩阵
∴τ是仿射变换

∵\(A_i\)的Ⅰ坐标(\(A_1(0,0),A_2(1,0),A_3(0,1)\))与\(B_i\)的Ⅱ坐标(\(B_1(0,0),B_2(1,0),B_3(0,1)\))相同
∴让P分别为\(A_1,A_2,A_3\)，经τ变换后可得到\(B_1,B_2,B_3\). 即

\[τ(A_i)=B_i,i=1,2,3 \]

唯一性.
设存在另一个仿射变换B能将P映射到P'，则B也是Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵. 有

\[\begin{pmatrix} \bm{e_1'}\\ \bm{e_2'} \end{pmatrix} =B\begin{pmatrix} \bm{e_1}\\ \bm{e_2} \end{pmatrix} \]

所以

\[\begin{pmatrix} \bm{e_1'}\\ \bm{e_2'} \end{pmatrix} =BA^{-1}\begin{pmatrix} \bm{e_1'}\\ \bm{e_2'} \end{pmatrix} \]

可得\(E=BA^{-1}\)，即\(A=B\)
故得证.

推论平面上任给2给仿射标架Ⅰ、Ⅱ，则存在唯一的仿射变换把Ⅰ变换成Ⅱ.

证明：设\(Ⅰ[O;\bm{e_1,e_2}],Ⅱ[O';\bm{e_1',e_2'}]\)，以O为起点建立向量\(\overrightarrow{OA_1}=\bm{e_1},\overrightarrow{OA_2}=\bm{e_2}\)，以O'为起点建立向量\(\overrightarrow{O'A_1'}=\bm{e_1'},\overrightarrow{O'A_2'}=\bm{e_2'}\)
∵\(\bm{e_1,e_2}\)不共线
∴\(O,A_1,A_2\)不共线
同理可得，\(O',A_1',A_2'\)不共线
由上面定理可知，存在唯一的仿射变换能将\(O,A_1,A_2\)变换到\(O,A_1,A_2\).
即存在唯一的仿射变换将Ⅰ变换成Ⅱ.

变积系数

平面的定向

正交变换保持点之间距离不变、向量之间夹角不变，从而保持图形面积不变.
仿射变换会改变点之间距离，也会改变向量之间夹角，因此也会改变图形面积.

规定平面\(π_0\)的定向用单位法向量\(\bm{e}\)表示，设向量\(\bm{a_0},\bm{b_0}\)是平面上2不共线向量，则\(\bm{e}\)的方向是\(\bm{a_0}\)旋转到\(\bm{b_0}\)的方向（旋转角<π）.

用\((\bm{a},\bm{b})\)表示以\(\bm{a,b}\)为邻边且边界的环行方向为\(\bm{a}\)到\(\bm{b}\)的旋转方向的定向平行四边形的定向面积，即\(|(\bm{a,b})|=|\bm{a}\times\bm{b}|\)，

当\((\bm{a,b})>0\)时，定向平行四边形的边界环形方向（\(\bm{a}->\bm{b}\)的旋转方向）与\(π_0\)的定向一致；
当\((\bm{a,b})<0\)时，则与\(π_0\)的定向不一致；

从而有

\[\bm{a}\times \bm{b}=(\bm{a,b})\bm{e} \]

平行四边形的仿射变换前后定向面积的特性

定理设仿射变换τ在仿射标架\(Ⅰ[O;\bm{e_1,e_2}]\)中的公式为

\[\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix} \]

对于任意不共线向量\(\bm{a,b}\)，设向量变换\(\overline{τ}(\bm{a})=\bm{a'},\overline{τ}(\bm{b})=\bm{b'}\)，则有

\[\frac{(\bm{a',b'})}{(\bm{a,b})}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}. \]

证明：
设\(\bm{a,b}\)的Ⅰ坐标分别为\((u_1,v_1),(u_2,v_2)\)，\(\bm{e}\)是平面的定向，则

\[\begin{aligned} \bm{a}\times \bm{b}&=(\bm{a},\bm{b})\bm{e}=(u_1,v_1)\times(u_2,v_2)\\ &=(u_1\bm{e_1}+v_1\bm{e_2})\times (u_2\bm{e_1}+v_2\bm{e_2})\\ &=u_1v_2\bm{e_1}\times \bm{e_2}+v_2u_1\bm{e_2} \times \bm{e_1}\\ &=(u_1v_2-v_2u_1)\bm{e_1}\times \bm{e_2}\\ &=\begin{vmatrix} u_1 & u_2\\v_1 & v_2 \end{vmatrix}(\bm{e_1}\times \bm{e_2}) \end{aligned} \]

设仿射标架Ⅰ经仿射变换得到仿射标架\(Ⅱ[O';\bm{e_1',e_2'}]\)，则\(\bm{a',b'}\)的Ⅱ坐标\((u_1,v_1),(u_2,v_2)\)，则有

\[\bm{a'}\times\bm{b'}=(\bm{a'},\bm{b'})\bm{e} =\begin{vmatrix} u_1 & u_2\\v_1 & v_2 \end{vmatrix}(\bm{e_1'}\times \bm{e_2'}) \]

\(\bm{e_1,e_2}\)与\(\bm{e_1',e_2'}\)是什么关系？
前者是Ⅰ的基，后者是的Ⅱ基. 有

\[\begin{pmatrix} e_1'\\e_2' \end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} e_1\\e_2 \end{pmatrix} \Leftrightarrow\begin{cases} \bm{e_1'}=A\bm{e_1}\\ \bm{e_2'}=A\bm{e_2} \end{cases} \]

其中，\(A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\)也是Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵.

而\(\bm{e_1,e_2}\)的Ⅰ坐标分别为(1,0),(0,1)，因此\(\bm{e_1',e_2'}\)的Ⅰ坐标分别为\((a_{11},a_{21}),(a_{12},a_{22})\).

∵\(\bm{a}\times \bm{b}=(\bm{a,b})\bm{e}=\begin{vmatrix} u_1 & u_2\\v_1 & v_2 \end{vmatrix}(\bm{e_1}\times \bm{e_2}),\bm{e_1}\times \bm{e_2}=(\bm{e_1,e_2})\bm{e}\)

∴\((\bm{a,b})\bm{e}=\begin{vmatrix}u_1 & u_2\\v_1 & v_2 \end{vmatrix}(\bm{e_1,e_2})\bm{e}\)

∵等式两边\(\bm{e}\)的系数都是实数
∴\((\bm{a,b})=\begin{vmatrix} u_1 & u_2\\v_1 & v_2 \end{vmatrix}(\bm{e_1,e_2})\).

同理，可得\(\bm{e_1'}\times \bm{e_2'}=(\bm{e_1',e_2'})\bm{e}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}(\bm{e_1}\times \bm{e_2})=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}(\bm{e_1,e_2})\bm{e}\)

∴\((\bm{e_1',e_2'})=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}(\bm{e_1,e_2})\)

故

\[\frac{(\bm{a',b'})}{\bm{(a,b)}}=\frac{\begin{vmatrix} u_1 & u_2\\v_1 & v_2 \end{vmatrix}(\bm{e_1'}\times \bm{e_2'})}{\begin{vmatrix} u_1 & u_2\\v_1 & v_2 \end{vmatrix}(\bm{e_1,e_2})} =\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=|A| \]

tips: 该定理表明仿射变换τ按相同比值变换所有平行四边形的面积.