abc076d <dp / 贪心>-526互联

D - AtCoder Express

// https://atcoder.jp/contests/abc076/tasks/abc076_d
// <dp>
// dp[i][j] 表示第i秒结束时, 速度为j, 至此行驶最大路程为 dp[i][j]
// 注意: 使用 printf输出, 避免精度问题 (直接cout真的会WA ~)
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
using LL = long long;
const int N = 110;
int t[N], v[N];
double dp[N][N];

void solv()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> t[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i];
    memset(dp, 0xcf, sizeof dp);  // 初始化为无穷小, 标记为非法值
    dp[0][0] = 0;  // 只有 0 0 合法
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int v0 = 0; v0 <= min(v[i-1], v[i]); v0 ++)  // 进入第i秒时的初始速度 v0
            for (int v1 = 0; v1 <= v[i+1]; v1 ++)  // 第i秒结束时的速度 v1
            {
                double t_acc = max(v[i] - v0, 0);  // 从v0加速到第i秒内最大速度v[i]所需时间
                double t_de = max(v[i] - v1, 0);   // 从第i秒内最大速度v[i]减速 到 第i秒结束时速度v1 所需时间
                double t_to = abs(v0 - v1);  // 从v0变速到v1所需最短时间
                
                if (t_acc + t_de <= t[i])  // v-t图上部分为梯形的情况(可加速到本时段最大速度)
                {
                    double d = (v0+v[i])*t_acc/2.0 + v[i]* (t[i]-t_acc-t_de) + (v1+v[i])*t_de/2.0;
                    dp[i][v1] = max(dp[i][v1], dp[i-1][v0] + d);  
                } 
                else if (t_to <= t[i])  // v-t图上半部分为三角形的情况(来不及加速到最大速度就需要减速)
                {
                    double h = (v0 + v1 + t[i]) / 2.0;  // 可加速到的最大速度
                    double a = (v1 - v0 + t[i]) / 2.0;  // 加速时间
                    double b = (t[i] - v1 + v0) / 2.0;  // 减速时间
                    double d = (v0 + h) * a / 2.0 + (v1 + h) * b / 2.0;  // 本时段行驶距离
                    dp[i][v1] = max(dp[i][v1], dp[i-1][v0] + d);  
                }
            }
    }
    // cout << dp[n][0] << endl;  // 注意精度问题, 这样直接输出 WA 9
    printf("%.8lf\n", dp[n][0]);
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    int T = 1;
	// cin >> T;
    while (T --)
    {
        solv();
    }
    return 0;
}

贪心做法参考

计算每个时段结束时的最大速度r[i]
r[i]受三个因素影响
- 加速限制:从上个时段结为速度r[i-1]开始,当前时段不断加速,可到达的最大速度
- 减速限制:下个时段结为速度为r[i+1],若下个时段不断减速,那么当前时段结为的最大速度
- 最大速度限制:当前时段的速度上限v[i]
满足这三者, 按照最大时段结尾速度行驶, 可贪心得到最大路程

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