3.1线性回归
回归（regression）是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。
线性回归基于几个简单的假设：
１.自变量和因变量之间的关系是线性的
２.任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布
仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换（linear transformation）， 并通过偏置项来进行平移（translation）。
3.1.1基本元素
1.线性模型
\(\hat{y} = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b\)
2.损失函数
回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。 当样本i的预测值为\(\hat{y}^{(i)}\),
，其相应的真实标签为\(y^{(i)}\)时， 平方误差可以定义为以下公式
\(l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{2} \left(\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}\right)^2.\)
需计算在训练集个样本上的损失均值（也等价于求和）
\(L(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n l^{(i)}(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2.\)
3.解析解
线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来， 这类解叫作解析解（analytical solution）
\(\mathbf{w}^* = (\mathbf X^\top \mathbf X)^{-1}\mathbf X^\top \mathbf{y}.\)
4. 随机梯度下降
梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值） 关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。 但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。 因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本， 这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。
更新过程：
\((\mathbf{w},b) \leftarrow (\mathbf{w},b) - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{(\mathbf{w},b)} l^{(i)}(\mathbf{w},b).\)
算法的步骤如下：
（1）初始化模型参数的值，如随机初始化；
（2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。
对于平方损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式:
\(\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{w} &\leftarrow \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{\mathbf{w}} l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right),\\ b &\leftarrow b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_b l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned}\end{split}\)
5. 用模型进行预测
给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）。
3.１.2矢量化加速
通过矩阵运算节省时间
3.1.3. 正态分布与平方损失
正态分布概率密度函数如下：
\(p(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2}(x- \mu)^2\right).\)
写出通过给定的观测到特定的似然（likelihood）:
\(P(y \mid \mathbf{x}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (y - \mathbf{w}^\top \mathbf{x} - b)^2\right).\)
根据极大似然估计法，参数w和b的最优值是使整个数据集的似然最大的值：
\(P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \prod_{i=1}^{n} p(y^{(i)}|\mathbf{x}^{(i)}).\)
通过最大化似然对数来简化。 优化通常是说最小化而不是最大化。 可以改为最小化负对数似然\(-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)\)。 由此可以得到的数学公式是：
\(-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \log(2 \pi \sigma^2) + \frac{1}{2 \sigma^2} \left(y^{(i)} - \mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} - b\right)^2.\)
在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。
1.4. 从线性回归到深度网络
可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。
每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连， 我们将这种变换 称为全连接层（fully-connected layer）或称为稠密层（dense layer）
3.2线性回归的实现
在启智AI开台上，编程实现。
执行以下循环：
初始化参数
重复以下训练，直到完成
计算梯度 \(\mathbf{g} \leftarrow \partial_{(\mathbf{w},b)} \frac{1}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} l(\mathbf{x}^{(i)}, y^{(i)}, \mathbf{w}, b)\)
更新参数 \((\mathbf{w}, b) \leftarrow (\mathbf{w}, b) - \eta \mathbf{g}\)
在每个迭代周期（epoch）中，我们使用data_iter函数遍历整个数据集， 并将训练数据集中所有样本都使用一次（假设样本数能够被批量大小整除）。 这里的迭代周期个数num_epochs和学习率lr都是超参数，分别设为3和0.03。 设置超参数很棘手，需要通过反复试验进行调整。
在机器学习中，我们通常不太关心恢复真正的参数，而更关心如何高度准确预测参数。
是在复杂的优化问题上，随机梯度下降通常也能找到非常好的解