函数的连续性
增量：设变量 \(u\) 从他的一个初值 \(u_{1}\) 变到终值 \(u_{2}\)，终值与初值的差 \(u_{2}-u_{1}\) 就叫做变量 \(u\) 的增量。
增量可正可负。
函数 \(f(x)\) 随 \(x\) 的变化：
增量都是变化以后的减去变化以前的。
定义： 设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 的某一领域内有定义，如果：
那么就称函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 连续。
设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 的某一领域内有定义，如果：
那么就称函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 连续。
连续满足以下条件：
-
在 \(x_{0}\) 处有极限
-
在 \(x_{0}\) 处有定义
-
极限值等于函数值
左连续：
如果 \(\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0}^{-})\) 存在且等于 \(f(0)\)，即：
那么就说函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 左连续。
右连续：
如果 \(\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0}^{+})\) 存在且等于 \(f(0)\)，即：
那么就说函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 右连续。
连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线。
插曲：三角函数公式：
\(\cos(a+b)=\cos a\cos b - \sin a\sin b\)
\(\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\)
\(\sin a\cos b = \frac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)]\)
\(\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)]\)
\(\sin a\sin b=-\frac{1}{2}[\cos(a+b)-\cos(a-b)]\)
\(\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\)
\(\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\)
\(\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\)
函数的间断点
满足三个条件之一即可：
-
在 \(x_{0}\) 处无定义
-
\(\lim_{x\to x_{0}}f(x)\) 不存在
-
\(\lim_{x\to x_{0}}f(x)\ne f(x_{0})\)
上面三个条件层层递进，满足第一条再判断第二条。
慢足以上三个条件之一的就说函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 为不连续，而点 \(x_{0}\) 称为函数 \(f(x)\) 的不连续点或间断点。
称 \(x=\frac{\pi}{2}\) 为函数 \(\tan x\) 的无穷间断点。
因为 \(y= \sin \frac{1}{x}\) 在 \(x\to 0\) 的时候无限变动多次，所以点 \(x=0\) 称为函数 \(\sin\frac{1}{x}\) 的振荡间断点。
\(y=\frac{x^{2}-1}{x-1}\) 在 \(x=1\) 时没有定义，这个间断点被称为可去间断点。
这种图像具有跳跃性的，称 \(x=0\) 是函数 \(f(x)\) 的跳跃间断点。
第一类间断点：左右极限都存在，可去间断点，跳跃间断点。
第二类间断点：左右极限至少一个不存在的间断点，震荡间断点，无穷间断点。