Boltzmann叠加原理
对于蠕变，有 \(\gamma(t)=J(t)\sigma\)，其中 \(J(t)=J_g+J_d\Psi(t)\)。
假设在各个时间节点上施加一些列的 \(\Delta\sigma(\tau_i)\) 外界激励，系统的一系列响应是 \(J(t-\tau_i)\) ，相乘并累加得到下式，当间隔很小时，或者是说外加的激励是一个连续变化的值的时候，可以用积分来表示。
\[\begin{aligned}
\gamma(t)&=J(t-\tau_1)\Delta\sigma(\tau_1)+J(t-\tau_2)\Delta\sigma(\tau_2)+J(t-\tau_3)\Delta\sigma(\tau_3)+\cdots\\[3ex]
&=\sum_{\tau_i=-\infty}^{\tau_i=t} J(t-\tau_i)\Delta\sigma(\tau_i)\\[2ex]
&=\int_{-\infty}^{\ t}J(t-\tau)d\sigma(\tau)\\[3ex]
&=\int_{-\infty}^{\ t}J(t-\tau)\dfrac{d\sigma(\tau)}{d\tau}d\tau
\end{aligned}
\]
在推导上面的式子之后，我们需要做的就是再求解出 \(J(t-\tau)\) 的表达式即可。
对于松弛道理类似的，只不过需要注意两者的模量表示稍有不同。\(\sigma(t)=G(t)\gamma\)，其中 \(G(t)=G_e+G_d\Psi(t)\)。
$$
\begin{aligned}
\sigma(t)&=G(t-\tau_1)\Delta\gamma(\tau_1)+G(t-\tau_2)\Delta\gamma(\tau_2)+G(t-\tau_3)\Delta\gamma(\tau_3)+\cdots\\[3ex]
&=\sum_{\tau_i=-\infty}^{\tau_i=t} G(t-\tau_i)\Delta\gamma(\tau_i)\\[2ex]
&=\int_{-\infty}^{\ t}G(t-\tau)d\gamma(\tau)\\[3ex]
&=\int_{-\infty}^{\ t}G(t-\tau)\dfrac{d\gamma(\tau)}{d\tau}d\tau
\end{aligned}
$$
在推导上面的式子之后，同样对应的，我们需要做的就是再求解出 $G(t-\tau)$ 的表达式即可。这就我们所用的 $Prony$ 级数来表示的模量