6.1.1 不变性
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平移不变性（translation invariance）：
不管检测对象出现在图像中的哪个位置，神经网络的前面几层应该对相同的图像区域具有相似的反应，即为“平移不变性”。
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局部性（locality）：
神经网络的前面几层应该只探索输入图像中的局部区域，而不过度在意图像中相隔较远区域的关系，这就是“局部性”原则。最终，可以聚合这些局部特征，以在整个图像级别进行预测。
6.1.2 多层感知机的限制
假设多层感知机的输入是 \(X\)，将其隐藏表示记为 \(H\)（二者形状相同）。
使用 \([\boldsymbol{X}]_{ij}\) 和 \([\boldsymbol{H}]_{ij}\) 表示位置 \((i,j)\) 位置上的像素点。
因为每个像素点都需要和其他像素点联系，故每个像素点都需要一个二阶的权重张量，又由于是二维图像，故最终权重张量 \(\mathrm{W}\) 为四维。
再假设偏置参数为 \(U\)，则可以将全连接层表示为：
为了方便表示，我们对下标 \((k,l)\) 进行重新索引，使得 \(k=i+a,l=j+b\)，则可以得到重拍后的权重矩阵 \([V]_{i,j,a,b}=[\mathrm{W}]_{i,j,i+a,j+b}\)。
上式可表述为：
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平移不变性
现在引入平移不变性，即检测对象在输入 \(X\) 中的平移应该仅导致隐藏表示 \(H\) 中的平移。简言之，无须每个像素都要独享一个二维权值张量，所有像素共享同一个即可，故权重张量降为二维即可。此时式子可以简化为：
\[[\boldsymbol{H}]_{ij} = u+\sum_a\sum_b[\boldsymbol{V}]_{a,b}[\boldsymbol{X}]_{i+a,j+b} \]这就是所谓卷积，使用系数 \([\boldsymbol{V}]_{a,b}\) 对 \((i,j)\) 附近的像素 \((i+a,j+b)\) 进行加权得到 \([\boldsymbol{H}]_{ij}\)。
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局部性
对于上述的 \(a,b\) 不应该取太大，即范围不应太大，至少不应该是全图。故可将 \(\left|a\right|>\Delta \left|b\right|>\Delta\)的范围设置为0（即不考虑范围外的影响）。故可将式子重写为：
\[[\boldsymbol{H}]_{ij} = u+\sum_a^\Delta\sum_b^\Delta[\boldsymbol{V}]_{a,b}[\boldsymbol{X}]_{i+a,j+b} \]
至此，可以称 \(V\) 为卷积核。简言之，卷积操作实际就是计算一圈像素对中间像素的影响，使用不同的卷积核则计算的是不同方面的影响，最终实现提取不同特征的效果。此处参考王木头大佬的视频《从“卷积”、到“图像卷积操作”、再到“卷积神经网络”，“卷积”意义的3次改变》。
6.1.3 卷积
在数学中，卷积被定义为：
用一个例子说明的话，一个不确定的输入函数叠加上一个确定的输出函数，计算最终余量即为卷积。
6.1.4 “沃尔多在哪里”回顾
上面一直将图片作为二维张量，实际上图像一般包含三个通道（即RGB三原色），因此图像应该是一个由高度、宽度和颜色组成的三维张量。故我们应将 \(\boldsymbol{X}\) 索引为 \([\boldsymbol{X}]_{i,j,k}\)，由此卷积核相应的调整为 \([\boldsymbol{V}]_{a,b,c}\)，再添加一个 \(d\) 以实现不同通道的输出，即：
练习
（1）假设卷积层式（6.3），覆盖的局部区域 \(\Delta=0\)。在这种情况下，证明卷积核为每组通道独立地实现一个全连接层。
若 \(\Delta=0\) 则意味着卷积核大小为1，那感觉和全连接没区别的哇。
（2）为什么平移不变性可能也不是好主意呢？
太单一，也许不同区域需要的卷积核不一样。
（3）当从图像边界像素获取隐藏表示时，我们需要思考哪些问题？
应该考虑关于填充的事情。
（4）描述一个类似的音频卷积层的架构。
将音频信息转换为二维数据或更高维再进行卷积操作。
（5）卷积层也适合于文本数据吗？为什么？
我觉得可以，只要找到合适的方法数据化文本。因为卷积这种对于特征的提取对于自然语言也应该是适用的。
（6）证明在式（6.6）中，\(f*g=g*f\)。