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最近我们被客户要求撰写关于TV-PSTR的研究报告，包括一些图形和统计输出。

在本文中，当采用两种状态时，单转换函数PSTR模型具有两个变量：

我们的经验方法的基础包括评估N个国家的资本流动性。相应的模型定义如下：

其中，Iit是第i个国家在时间t时观察到的国内投资与GDP的比率，Sit是国内储蓄与GDP的比率，αi表示单个固定效应。残差εit假定为i.i.d.（0，σ2ε）。Corbin（2001）特别使用了该模型，该模型有两个主要缺点。

首先，它假设在小组的N个国家之间资本的国际流动程度相同，即βi=β，∀i=1，…，N。很明显，即使仅考虑经合组织国家，这种假设也是不现实的。如前所述，已经确定了许多明显影响资本流动的因素：国家规模、人口年龄结构、开放程度等。因此，假设βi=β意味着这些因素不影响资本流动。这样的假设显然过于严格。

其次，方程（1）表明，在模型的估计期内，储蓄保留系数是常数。这一假设也是不现实的，特别是当我们考虑具有足够长时间维度的宏观面板时：很明显，典型经合组织国家的资本流动性在60年代和90年代并不相同。

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R语言面板平滑转换回归(PSTR)分析案例实现

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自70年代中期以来，主要经合组织国家的资本管制和资本跨境流动障碍已经消除，FH系数随着时间的推移呈下降趋势。实际上，Obstfeld和Rogoff（2000）在1990-1997年期间的回归中发现，经合组织国家的储蓄保留系数为0.60，而FH在1960-74年期间16个经合组织国家的文章中强调的储蓄保留系数为0.89。因此，没有理由假设参数β（参数βi）是时间不变的。

一般来说，这两个问题不能同时解决。例如，可以通过假设FH参数βi是随机分布的来考虑异质面板模型5。然而，在这样一个随机系数模型中，资本的流动性被假定为时间不变的。此外，在一个简单的随机系数模型（Swamy，1970）中，参数βi被假定为独立于解释变量。换言之，假设FH系数与国内储蓄与GDP之比无关。因此，它们的可变性是其他未指明的结构因素的结果。

解决这两个问题的方法是在线性面板模型中引入阈值效应。在这种情况下，第一种解决方案是使用简单面板阈值回归（PTR）模型（Hansen，1999），正如Ho（2003）所建议的那样。在这种情况下，极端状态之间的转换机制非常简单：在每个日期，如果观察到的某个国家的阈值变量小于某个给定值，称为阈值参数，资本流动性是由一个特定的模型（或机制）来定义的，它不同于阈值变量大于阈值参数时使用的模型。例如，让我们考虑一个具有两个极端状态的PTR模型：解决这两个问题的方法是在线性面板模型中引入阈值效应。

具有单个位置参数（m = 1）的逻辑转换函数：

可以证明，I w.r.t S的弹性是时变的

我认为提取这些随时间变化的系数对所有个体来说都是很直观的，因为它们显示了感兴趣的关系的动态，补充了转换函数的可视化。

假设我们将此应用于Hansen数据的情况（4个变量而不是2个变量，但上面的公式适用）。我们想研究债务水平对投资的影响，条件是选择转换变量为托宾Q。让我们首先拟合模型：

PSTR(data, dep='inva', indep=4:20, indep_k=c('vala','debta','cfa','sales'),tvars=c('vala'), iT=14)

然后计算时变系数，并提取样本中前三家公司的托宾Q水平

for (i in 1:n){ 
va_i<-vala[cusip==id[i]] 
g<-(1+exp(-gamma*(va_i-c)))^(-1) 
tvc_i<-est[2] + mbeta*g

最后绘制这些时间序列：

matplot(tvc, type = 'l', lwd=2,col = 1:3, xaxt='n'
axis(1, at=1:nrow(tvc), labels=c(1974:1987)); legend("topleft", legend = 
matplot(vala, type = 'l', lwd=2,col = 1:3, xaxt = 'n', xlab='年'
; axis(1, at=1:nrow(tvc), labels=c(1974:1987));
legend("topleft", legend = paste('公司',colnames(vala),sep=''),

我们可以看到，投资w.r.t债务的弹性随着时间的推移而变化，并且取决于Q的水平：Q越高（拥有更多投资机会的公司），影响越强。特别是Q（2824）最高的公司（绿色曲线，右图）表现出最稳定的关系（绿色曲线，左图）。