第一章预备知识

函数的复合 $f\circ g$ 和 $g\circ f$ 可能写出来的表达式一样，但是定义域不一样。$f(x)=\frac{1}{1-x}.,g(x)=\frac1x$

多个函数复合可以实现结合律，但是显然没有交换律。
周期函数的定义需要满足 $f(x)$ 在 $x\pm T$ 处有定义且满足 $f(x)=f(x\pm T)$

第二章极限

证明有界性，需要将数据适当放大；对于无界性，需要将数据适当缩小。

比如 $\{\frac{n+1}{\sqrt n-1},n\ge2\}$ 的无界性，可以有 $\frac{n+1}{\sqrt n-1}>\frac{n-1}{\sqrt n-1}=\sqrt n+1$ ，发散
邻域和空心邻域，没有包含关系。
邻域就是有心的，空心邻域就是没心的。
证明数列收敛的方式除了按照定义和 Cauchy 收敛原理之外，还可以使用单调有界必收敛来声明

例子 $a_n=\sum\limits_{i=1}^n \frac 1i-\ln n$ 证明 $a_n$ 收敛。
海涅定理，证明中有一个 part 使用了构造数列的技巧。
$fx)$ 定义于 0 的某个空心邻域 $U$ 对于任意 $x\in U$ 都有 $\lim\limits_{n\to +\infty}f(\frac xn)=0$ 则 $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0 $ 错误。

根据海涅定理，你发现这相当于是取了一个很特殊的序列 $\{\frac xn\}$，同时我们可以发现这个数列任意两项都是满足比值是有理数，所以我们构造一个任意两项比值都是无理数的无穷数列 $A$，让 $f(x)$ 在这些点值取值另类，剩下的随波逐流。这样上面的 $\{\frac xn\}$ 只有一项落入 $A$。

一种构造是取 $\{\frac1{\sqrt {prime}}\}$
把 $e$ 的定义式扩展到实数的时候，可以先声明整数的情况，本质上是声明了 $\lim\limits_{x\to \infty}(1+\frac1{[x]})^{[x]}$。我们可以使用函数单调性和迫敛性定理（夹逼准则）来找到上下两个整数把方括号去掉。