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最近我们被客户要求撰写关于粒子群优化的研究报告，包括一些图形和统计输出。

粒子群优化（PSO）

在PSO中，群中的每个粒子表示为向量。在投资组合优化的背景下，这是一个权重向量，表示每个资产的分配资本。矢量转换为多维搜索空间中的位置。每个粒子也会记住它最好的历史位置。对于PSO的每次迭代，找到全局最优位置。这是群体中最好的最优位置。一旦找到全局最优位置，每个粒子都会更接近其局部最优位置和全局最优位置。当在多次迭代中执行时，该过程产生一个解决该问题的良好解决方案，因为粒子会聚在近似最优解上。

 # 此类包含群中的粒子代码
class Particle:
    velocity = []
    pos = []
    pBest = []
 
    def __init__(self):
        for i in range(dimension):
            self.pos.append(random.random())
            self.velocity.append(0.01 * random.random())
            self.pBest.append(self.pos[i])
        return

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该图描绘了粒子群优化算法相对于全局最优（蓝色）和局部最优位置（红色）如何更新群体中每个粒子的位置。

# 此类包含粒子群优化算法类粒子参数优化器
class ParticleSwarmOptimizer:
    solution = []
    swarm = []
 
    def __init__(self):
        for h in range(swarmSize):
            particle = Particle()
            self.swarm.append(particle)

PSO的表现受到权重的影响。探索描述了PSO探索搜索空间不同区域的能力。Exploitation描述了PSO将搜索集中在搜索空间的有前途区域的能力。为了增强PSO的探索和开发能力，应用了以下算法增强功能：

聚合粒子的随机重新初始化 - 通过在粒子聚集在全局最优粒子上时重新启动粒子来改进探索。使用两个粒子（载体）之间的相似性函数测量收敛。

如果粒子在全局最优粒子附近会聚，但不如全局最优粒子合适，则在搜索空间的某处随机重新初始化。这提高了PSO的探索能力。

最优粒子的选择性突变 - 通过初始化邻近全局最优粒子的邻居来改进。如果邻居比全局最优粒子更好，则全局最优粒子被邻居取代。

对于算法的每次迭代，在全局最优粒子附近创建邻居。如果这些邻居中的任何一个优于全局最优粒子，则替换全局最优粒子。

使用粒子群优化的投资组合优化

PSO算法可用于优化投资组合。在投资组合优化的背景下，群中的每个粒子代表投资组合中资产之间的潜在资本分配。这些投资组合的相对适应性可以使用许多平衡风险和预期收益的金融效用函数之一来确定。我使用夏普比率，因为这已成为行业认可的基准投资组合表现标准。考虑以下适用于由三个资产组成的投资组合的PSO图示，

使用粒子群优化（PSO）的投资组合优化的例证。灰色粒子正在更新。红色粒子是灰色粒子的局部最优位置，蓝色粒子是全局最优位置。

灰色粒子转换为向量（0.5,0.2,0.3），意味着投资组合资本的50％分配给资产1，20％分配给资产2，30％分配给资产3。该分配的预期夏普比率为0.38，小于局部最优位置（红色粒子）和全局最优位置（蓝色粒子）。这样，灰色粒子的位置被更新，使得它更接近全局最优粒子和局部最优粒子。

使用粒子群优化（PSO）的投资组合优化的例证。灰色粒子被更新，使其更接近全局最优，并且是局部最优的。得到的矢量比以前更好。

灰色粒子已移动，现在转换为矢量（0.3,0.3,0.4），其预期夏普比率为0.48。该值高于之前的局部最优位置，因此局部最优位置（红色粒子）将更新为当前位置。

使用粒子群优化（PSO）的投资组合优化的例证。局部最优位置（红色粒子）现已更新为粒子的当前位置。

使用粒子群优化的真正挑战是确保满足投资组合优化的约束。如前所述，存在许多限制。最常见的限制因素首先是资产之间不再分配和不少于100％的可用资本（即权重向量必须加起来为1.0）。其次，不允许对资产进行负分配。最后，资本应该分配给投资组合中至少这么多资产。后者是基数约束。两种常用技术用于确保粒子满足约束条件，