合同变换法
已知二次型 \(f = x^T A x\)，求变换 \(x=Py\)，使得二次型化为标准型 \(f=y^T \Lambda y\)，且 \(P^T A P = \Lambda\)。该过程的实质是一次合同变换，即
\[[A,E] \xrightarrow{对A,E作初等行变换，对A作相应的初等列变换} [\Lambda, P^T]
\]
具体的操作看下面几个例子。
一、实对称矩阵 A 对角元素均不为零
【例 1】将二次型 \(f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 5x_2^2 + 5x_3^2 + 2x_1x_2 - 4x_1x_3\) 化为标准型。
【解】由合同变换得
\[\begin{aligned}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 5 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-2 & 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right] \\
\xrightarrow{r_2-r_1}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\
-2 & 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\xrightarrow{c_2-c_1}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\
-2 & 2 & 5 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right] \\
\xrightarrow{r_3+2r_1}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 2 & 0 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\xrightarrow{c_3+2c_1}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 2 & 0 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right] \\
\xrightarrow{(*)r_3-\frac{1}{2}r_2}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\xrightarrow{c_3-\frac{1}{2}c_2}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\end{aligned}
\]
所以标准型为 \(y_1^2 + 4y_2^2\)，所作变换矩阵为 \(P = \left[ \begin{matrix}
1 & -1 & \frac{5}{2} \\
0 & 1 & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right]\)，使 \(x=Py\)。
若要求规范型，需对上述继续作合同变换，将 \(\Lambda\) 上的对角元素 \(a\) 化为 \(-1\) 或 \(1\) 或 \(0\)，为此需作一次初等倍乘行变换（\(r_n / \sqrt{a}\)），再对应作一次初等倍乘列变换（\(c_n / \sqrt{a}\)）。
\[\begin{aligned}
& \xrightarrow{r_2 / \sqrt{4}}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\xrightarrow{c_2 / \sqrt{4}}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\end{aligned}
\]
所以规范型为 \(z_1^2 + z_2^2\)，所作变换矩阵为 \(Q = \left[ \begin{matrix}
1 & -\frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\
0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right]\)，使 \(x=Qz\)。
需要注意的是，合同变换的实质仍是配方，但配方法只是用了某种坐标变换，得到标准型的系数，不一定是特征值（不要以为使用该方法得到的 \(\Lambda\) 就是特征值！\(\Lambda\) 只能指示正、负和零特征值的个数，即正、负惯性指数一定是唯一的）。只有进行正交变换得到的系数才是特征值。
由此可知，二次型的标准型并不唯一，但是规范型唯一！如对（*）处还可作如下合同变换
\[\begin{aligned}
\xrightarrow{(*)r_3 \leftrightarrow r_2}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\xrightarrow{c_3 \leftrightarrow c_2}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 4 & -1 & 1 & 0 \\
\end{array} \end{matrix} \right] \\
\xrightarrow{r_3-2r_2}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -5 & 1 & -2 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\xrightarrow{c_3-2c_2}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -5 & 1 & -2 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\end{aligned}
\]
所以标准型为 \(y_1^2 + y_2^2\)，所作变换矩阵为 \(P = \left[ \begin{matrix}
1 & 2 & -5 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -2 \\
\end{matrix} \right]\)，使 \(x=Py\)。
【例 2】（2014 年数二第 14 题）设二次型 \(f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 - x_2^2 + 2ax_1x_2 + 4x_2x_3\) 的负惯性指数为 \(1\)，求 \(a\) 的取值范围。
【解】本题可使用配方法，但对于填空题来说比较麻烦。不妨采用合同变换法迅速解决本题。
\[\begin{aligned}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & a & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
a & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right] \\
\xrightarrow{r_3-ar_1}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & a & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 2 & -a^2 & 1-a & 0 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\xrightarrow{c_3-ac_1}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 2 & -a^2 & 1-a & 0 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right] \\
\xrightarrow{r_3+2r_2}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 4-a^2 & 1-a & 2 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\xrightarrow{c_3+2c_2}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 4-a^2 & 1-a & 2 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\end{aligned}
\]
因为负惯性指数为 \(1\)，所以 \(4-a^2 \geq 0\)，解得 \(-2 \leq a \leq 2\)。
二、实对称矩阵 A 对角元素有零
当发现二次型所对应的实对称矩阵 \(A\) 上的对角元素为 0 时，需要先想办法将对角线上的元素变成不为 0 的数，具体看下例。
【例 3】将二次型 \(f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3\) 化为标准型。
【解】发现对角线上第一个元素为 0，为使其不为 0，可将第二行加到第一行上，相应的就要作一次列变换，将第二列加到第一列上。对角线上其他位置为 0 的元素也是类似的处理方法。
\[\begin{aligned}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right] \\
\xrightarrow{r_1+r_2}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\xrightarrow{c_1+c_2}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
2 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right] \\
\xrightarrow{r_2-\frac{1}{2}r_1}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
2 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\xrightarrow{c_2-\frac{1}{2}c_1}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
2 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right] \\
\xrightarrow{r_3-r_1}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
2 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\xrightarrow{c_3-c_1}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\end{aligned}
\]
所以标准型为 \(2y_1^2 -\frac{1}{2} y_2^2 -2y_3^2\)，所作变换矩阵为 \(P = \left[ \begin{matrix}
1 & -\frac{1}{2} & -1 \\
1 & \frac{1}{2} & -1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right]\)，使 \(x=Py\)。
若要求规范型，则继续进行变换
\[\begin{aligned}
& \xrightarrow{r_1/\sqrt{2}}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
\sqrt{2} & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\xrightarrow{c_1/\sqrt{2}}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right] \\
& \xrightarrow{r_2/\frac{1}{\sqrt{2}}}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\xrightarrow{c_2/\frac{1}{\sqrt{2}}}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & -1 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right] \\
& \xrightarrow{r_3/\sqrt{2}}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & -1 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & 0 & -\sqrt{2} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\xrightarrow{c_3/\sqrt{2}}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{ccc | ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & -1 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & 0 & -1 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\end{aligned}
\]
所以规范型为 \(z_1^2 -z_2^2-z_3^2\)，所作变换矩阵为 \(Q = \left[ \begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{matrix} \right]\)，使 \(x=Qz\)。
三、实战一道题
【例 4】（2021年数一张宇八套卷卷一第21题）已知实对称矩阵 \(A = \left[ \begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & a \end{matrix}\right]\) 和 \(B = \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix}\right]\)，其中 \(a\) 为正整数，求可逆矩阵 \(C\)，使得 \(C^TAC=B\)。
【解】由于 \(A\) 有未知参数，先对 \(B\) 进行合同变换。
\[\begin{aligned}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc}
4 & 3 & 1 & 0 \\
3 & 1 & 0 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right] \\
\xrightarrow{r_2 - \frac{3}{4}r_1}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc}
4 & 3 & 1 & 0 \\
0 & -\frac{5}{4} & -\frac{3}{4} & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\xrightarrow{c_2 - \frac{3}{4}c_1}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc}
4 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -\frac{5}{4} & -\frac{3}{4} & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right] \\
\xrightarrow{r_1/2}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc}
2 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & -\frac{5}{4} & -\frac{3}{4} & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\xrightarrow{c_1/2}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc}
1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & -\frac{5}{4} & -\frac{3}{4} & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right] \\
\xrightarrow{r_2/\frac{\sqrt{5}}{2}}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc}
1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & -\frac{\sqrt{5}}{2} & -\frac{3}{2\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\xrightarrow{c_2/\frac{\sqrt{5}}{2}}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc}
1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & -1 & -\frac{3}{2\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\end{aligned}
\]
由此可知 \(B\) 的正、负惯性指数均为 1，变换矩阵为 \(C_2 = \left[ \begin{matrix}
\frac{1}{2} & -\frac{3}{2\sqrt{5}} \\
0 & \frac{2}{\sqrt{5}} \\
\end{matrix} \right]\)，使得 \(C_2^TBC_2 = \left[ \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{matrix} \right]\)。下面来对 \(A\) 进行合同变换。
\[\begin{aligned}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc}
2 & 2 & 1 & 0 \\
2 & a & 0 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right] \\
\xrightarrow{r_2 - r_1}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc}
2 & 2 & 1 & 0 \\
0 & a-2 & -1 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\xrightarrow{c_2 - c_1}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc}
2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & a-2 & -1 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\end{aligned}
\]
由于 \(C^TAC=B\)，即 \(A\) 与 \(B\) 合同，所以两者的正、负惯性指数相等，于是有 \(a-2<0\)，又因为 \(a\) 为正整数，所以 \(a=1\)。继续对 \(A\) 进行合同变换得
\[\begin{aligned}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc}
2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & -1 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right] \\
\xrightarrow{r_1 / \sqrt{2}}
& \left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc}
\sqrt{2} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & -1 & -1 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\xrightarrow{c_1 / \sqrt{2}}
\left[ \begin{matrix} \begin{array}{cc | cc}
1 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & -1 & -1 & 1 \\
\end{array} \end{matrix} \right]
\end{aligned}
\]
由此可知变换矩阵为 \(C_1 = \left[ \begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & -1 \\
0 & 1 \\
\end{matrix} \right]\)，使得 \(C_1^TAC_1 = \left[ \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{matrix} \right]\)。
因此有 \(C_1^TAC_1 = C_2^TBC_2\)，即 \((C_1C_2^{-1})^TA(C_1C_2^{-1}) = B\)，因此所求矩阵为
\[C = C_1C_2^{-1} = \left[ \begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & -1 \\
0 & 1 \\
\end{matrix} \right]
\left[ \begin{matrix}
2 & \frac{3}{2} \\
0 & \frac{\sqrt{5}}{2} \\
\end{matrix} \right]
= \left[ \begin{matrix}
\sqrt{2} & \frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{4} \\
0 & \frac{\sqrt{5}}{2} \\
\end{matrix} \right]
\]