引言
线段树是一种较为强大的数据结构，支持多种操作：
- 区间询问
- 区间修改
- 单点询问
- 单点修改
其实单点操作当成特殊的区间操作就可以了。
正文
一下以维护区间和为例。
结构
线段树的思想是分治，将数组分为若干子区间进行维护，其中
- 编号为 \(1\) 的区间管理 \([1,n]\)，它的左儿子是 \(2\)，管理 \([1,mid]\)（左半）区间；右儿子是 \(3\)，管理 \([mid+1,n]\)（右半）区间。
- ……
- 编号为 \(i\) 的区间管理 \([l,r]\)，它的左儿子是 \(ls\)，管理 \([l,mid]\)（左半）区间；右儿子是 \(rs\)，管理 \([mid+1,r]\)（右半）区间。
（记 \(mid=\lfloor\cfrac{l+r}{2}\rfloor,ls=2i,rs=2i+1\)）。
可以参考来自 OI Wiki 的图片：
建树
我们通过 \(sgt_i\) 表示编号 \(i\) 的区间和。
问题来了：数组 \(sgt\) 要开多大？
经过亿些简单的计算可知要开 \({2^{\left\lceil\log{n}\right\rceil+1}-1}\)。
到底是个什么概念？
图中蓝色函数为 \(y=4x\)，绿色为 \(y=2^{\left\lceil\log{x}\right\rceil+1}-1\)（\(x\) 为 \(n\)，\(y\) 为 \(|sgt|\)）。
可以看出其实无脑开 \(4n\) 就可以了。
考虑递归建树，递归函数 build(int pos,int l,int r) 的 \(3\) 个形参分别表示当前区间编号和区间的两个端点。
- 递归规则：左
build(2*pos,l,mid)；右build(2*pos,mid+1,r)。回溯时更新 \(sgt_{pos}=sgt_{ls}+sgt_{rs}\)。 - 终止条件：
l==r。此时 \(sgt_{pos}=a_l\)。请自行思考为什么。
区间询问
我们当然希望询问的区间正好是我们维护的区间，但这样的愿望难以实现。
依然以最开始的图为例：
如果查询区间 \([1,3]\) 的和，那么直接返回 \(sgt_2=33\) 即可。
那如果查询 \([1,4]\) 呢？
可以将 \([1,4]\) 拆成 \([1,3]\) 和 \([4,4]\) 并合并，所以返回 \(sgt_2+sgt_6=46\) 就可以了。
如果要查询的区间是 \([l,r]\)，则可以将其拆成最多为 \(O(\log n)\) 个极大的区间，合并这些区间即可求出 \([l,r]\) 的答案。
依然递归实现：
- 如果询问区间包含当前区间，直接返回 \(sgt_{pos}\)。
- 如果询问区间和左区间有重合，那么递归询问左区间。右区间同理。
- 累加左右区间返回的值并将它返回。
区间修改与 Lazy Tag
假设修改操作均是区间加：\(a_i=a_i+x,l\le i\le r\)（\(x\) 是区间加上的数）。
如果要修改线段树中 \([l,r]\) 区间的值，那么常规方法需要对于每个包含 \([l,r]\) 的区间进行修改，最坏复杂度 \(O(n\log n)\)，无法承受。
一个很聪明的办法是给每个包含 \([l,r]\) 的极大的区间打标记，这需要维护另一个数组 \(tag_i\) 表示编号为 \(i\) 的区间加上 \(tag_i\)。
如果要修改区间 \([1,4]\)，那么给区间 \([1,3],[4,4]\) 打上标记，代表修改，同时只修改 \([1,3],[4,4]\) 的 \(sgt\) 值。
如果此时询问 \([1,2]\)，我们发现 \([1,3]\) 有标记，所以要下放给 \([1,2]\)，同时修改 \(sgt_4\)（即 \([1,2]\) 的 \(sgt\) 值）。
一个通俗的比喻：假期作业很多，你让每一科的作业都显得已经完成（改 \(sgt\)），同时记在作业本上以免忘记（打标记），如果老师粗略的看（直接访问整个区间），那么老师就发现不了你没做作业。如果老师深究，那就把作业给自己的儿子做，你的儿子也会懒得做作业，只打标记，然后伪装自己已经做了。
如果要给已经有标记的区间打标记，那么直接重上去（+=）即可。
同时，下传标记在询问中已经完成，均摊了复杂度，所以区间修改是 \(O(\log n)\) 的。
递归：
- 如果修改区间包含当前区间，那么直接打标记：\(sgt_{pos}=sgt_{pos}+x\times(r-l+1),tag_{pos}=tag_{pos}+x\)。
- 否则递归左右区间去修改（如果与修改区间有重合）。
这样，我们实现了区间加法。能不能再来一个区间乘法？
当然可以。
维护两个标记数组 \(tgm_i,tgp_i\)，表示区间 \(i=[l,r]\) 进行 \(a_j=a_j\times tgm_i+tgp_i,l\le j\le r\)。
其他原理都一样，麻烦的是如果已经有标记时如何处理。
假设区间 \(i=[l,r]\) 进行 \(a_j=a_j\times m+p,l\le j\le r\) 的操作（为什么不是 \(a_j=(a_j+p)\times m\)？因为可以化简为 \(a_j=a_j\times m+(p\times m)\)，转换为 \(a_j\times m+p\) 的形式），而区间 \(i\) 已经打过了 \(a_j\times tgm_i+tgp_i\) 的标记，那么可以进行化简：
发现添加乘法标记时 \(tgm_i,tgp_i\) 都 \(\times m\) 即可，而添加加法标记时则直接将 \(tgp_i=tgp_i+p\)。
记得要更新 \(sgt\) 哦。
代码
其实 OI Wiki 里挺全的：点我传送
后记
其实这篇文章（以及我的博客里的所有文章）都是写给自己的，因为怕忘记。
看不下去就 OI Wiki 吧，也挺好的。