个人复习用。简记高代教材重要例题及习题。
一、线性方程组
一些定义：
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矩阵
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阶梯形矩阵
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简化行阶梯形矩阵
通过矩阵的初等行变换求解，不多赘述。
高斯消元：Gauss-Jordan 算法。不多赘述。
线性方程组有解（有唯一解或无穷多解），则称其为相容的；否则（无解），称其为不相容的。
齐次线性方程组：常数项全为 \(0\) 的线性方程组。
齐次线性方程组必有零解（显然）。其余的解（如果有），称为非零解。
很容易知道，如果齐次线性方程组有非零解，则其必有无穷多个解。
复数集的一个子集 \(K\) 如果满足：
\(0,1\in K\)；
\(a,b\in K \Rightarrow a\pm b , ab \in K\)，
\(a,b\in K, 且 b\ne 0 \Rightarrow \dfrac{a}{b}\in K\)，
那么我们称 \(K\) 是一个数域。
只规定 \(1\in K\) 亦可（根据第二条可以推出 \(0 \in K\)）。
容易知道，有理数集 \(\mathbb{Q}\)，实数集 \(\mathbb{R}\)，复数集 \(\mathbb{C}\) 都是数域；但是整数集 \(\mathbb{Z}\) 不是数域，因为其对于除法不封闭。
容易证明，任何数域都包含有理数域。
可以构造特殊的数域：
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\(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}\)，容易证明其是数域。
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\(\mathbb{Q}(\mathrm{i})\)。
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令：
\[F = \left\{\dfrac{a_ 0 + a_1 \mathrm{e}+ \cdots + a_n \mathrm{e} ^ n}{b_0 + b_1 \mathrm{e} + \cdots b_m \mathrm{e}^ m } \mid n,m \in \mathbb{N},a_i,b_i \in \mathbb{Z}\right\} \]容易证明其是数域。
二、行列式
\(n\) 元排列：\(n\) 个不同正整数的一个全排列。
逆序数：排列中逆序对的个数。
逆序数通常记作：\(\tau (a_1a_2\cdots a_n)\)。
对于一个排列：\(\tau\) 为奇数称为奇排列；为偶数则称为偶排列。
对换：交换排列中某两个不同的数的位置。
命题一：对换改变排列奇偶性。
说明：易知相邻两数对换改变奇偶性。
假设 \(i,j\) 两数中间有 \(s\) 个数。
对换 \(i,j\) 可视作 \(2s+1\) 次相邻数对换操作的结果（显然）。
改变奇数次奇偶性，则改变奇偶性。
命题二：\(\tau(a_1a_2\cdots a_n)=r\)，则有 \(\tau(a_na_{n-1}\cdots a_1) = \dfrac{n(n-1)}{2}-r\)
转换成竞赛图计数，容易证明。
简题：\(n\) 元排列 \(a_1\cdots a_kb_1\cdots b_{n-k}\)，\(a\) 递增，\(b\) 递增。求 \(\tau(a_1\cdots a_kb_1\cdots b_{n-k})\)。
解：\(a_1\) 后小于 \(a_1\) 者有 \(a_1 -1\) 个；\(a_2\) 后小于 \(a_2\) 者有 \(a_2-2\) 个，以此类推。
\[\begin{aligned} \tau(a_1\cdots a_kb_1\cdots b_{n-k}) & = \sum _ {i = 1 } ^ {k} (a_i - i) \\ & = \sum _ {i = 1} ^ {k} a_i -\dfrac{k(k+1)}{2} \end{aligned} \]
命题三：有关上述排列，\(a,b\) 递增条件不再成立。
\[\begin{aligned} & (-1) ^ {\tau (a_1\cdots a_kb_1\cdots b_{n-k})} \\ = & (-1)^{\tau(a_1\cdots a_k)+\tau(b_1\cdots b_{n-k})}(-1)^{\sum c_i}(-1)^{k(k+1)/2} \end{aligned} \]说明：易证 \(\tau (a_1\cdots a_k)\) 次对换可使排列 \(a\) 递增。由对换改变奇偶性尝试补足 \(-1\) 的次幂，剩下由上述简题容易得证。
命题四：在 \(n\) 元排列（\(n>1\)）中，偶排列和奇排列各占一半。
说明：容易通过对换在奇排列和偶排列构造一一对应的映射，故命题得证。
定义：\(n\) 级矩阵 \(\mathbf{A} = (a_{i,j})\) 的行列式（简称为 \(n\) 阶行列式）为：
右边被称为完全展开式。
\(n\) 阶行列式常记作 \(|\mathbf{A}|\) 或 \(\det \mathbf{A}\)。
三阶与二阶的行列式展开可以直接背。
上三角形矩阵：主对角线下方的元素全为 \(0\) 的 \(n\) 级矩阵。
上三角形行列式：上三角形矩阵的行列式。
容易知道上三角形行列式的值是主对角线上的元素的乘积。
我们容易知道：
可以从中明白：行列式中行与列的地位是对称的。
性质 \(1\)：行列互换，值不变。（易证）
同时此时矩阵称为 \(\mathbf{A}\) 的转置，记作 \(\mathbf{A}'\)（或者 \(\mathbf{A}^ {T}\)，\(\mathbf{A}^{t}\)）。
性质 \(2\)：一行的公因子可提出。（易证）
性质 \(3\)：某一行是两组数的和，可以拆成两个行列式相加，其中对应行分别是其中的一组数。（易证）
性质 \(4\)：两行互换，行列式反号。（易证）
性质 \(5\)：两行相同，值为 \(0\)。（由性质 \(4\) 易证）
性质 \(6\)：两行成比例，值为 \(0\)。（由性质 \(2\) 与性质 \(5\)）
性质 \(7\)：把某一行的倍数加到另一行上，行列式值不变。（由性质 \(3\) 与性质 \(6\)）
以上为行列式部分性质，便于计算。
下面介绍一些常见的行列式计算。
简题 \(1\)：计算 \(n\) 阶行列式：
\[\begin{vmatrix} k & \lambda & \lambda & \cdots & \lambda \\ \lambda & k & \lambda & \cdots & \lambda \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \lambda & \lambda & \lambda & \cdots & k \end{vmatrix} ,(k \ne \lambda) \]解：将第 \(2 \sim n\) 列加到第一列，提出第一列公因子后，从下往上，将第 \(i\) 行减去第 \(i-1\) 行。
\[\begin{aligned} \begin{vmatrix} k & \lambda & \lambda & \cdots & \lambda \\ \lambda & k & \lambda & \cdots & \lambda \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \lambda & \lambda & \lambda & \cdots & k \end{vmatrix} & = (k+(n-1)\lambda) \begin{vmatrix} 1 & \lambda & \lambda & \cdots & \lambda \\ 1 & k & \lambda & \cdots & \lambda \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & \lambda & \lambda & \cdots & k \end{vmatrix} \\ & = (k+(n-1)\lambda) \begin{vmatrix} 1 & \lambda & \lambda & \cdots & \lambda \\ 0 & k-\lambda & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & k - \lambda \end{vmatrix} \\ & = (k+(n-1)\lambda)(k-\lambda) ^{n-1} \end{aligned} \]
简题 \(2\)：计算 \(n\) 阶行列式（\(n\ge 2\)）：
\[\begin{vmatrix} x_1 -a _1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1 & x_2-a_2 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n-a_n \end{vmatrix} \]解：拿第一行去减第 \(2\sim n\) 行，再对第 \(i\) 列提出系数 \(a_i\)，最后将第 \(2\sim n\) 列加到第一列即可。
\[\begin{aligned} 原式 & = \begin{vmatrix} x_1 -a _1 & x_2 & \cdots & x_n \\ a_1 & -a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1 & 0 & \cdots & -a_n \end{vmatrix} \\ & = \prod _{ i = 1} ^ {n} a_i \begin{vmatrix} \dfrac{x_1}{a_1} -1 & \dfrac{x_2}{a_2} & \cdots & \dfrac{x_n}{a_n} \\ 1 & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 0 & \cdots & -1 \end{vmatrix} \\ & = \prod _{ i = 1} ^ {n} a_i \begin{vmatrix} \sum \limits_{i=1} ^ {n} \dfrac{x_i}{a_i} -1 & \dfrac{x_2}{a_2} & \cdots & \dfrac{x_n}{a_n} \\ 0 & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -1 \end{vmatrix} \\ & = (-1)^{n-1}\prod_{i=1} ^ {n} a_ i \left(\sum _ { i = 1 } ^ { n } \dfrac{x_i}{a_i}-1\right) \end{aligned} \]运用加边法也可解此题，过程大同小异。
现在来讨论 Laplace 定理的一阶情况。
余子式：行列式 \(|\mathbf{A}|\) 去掉第 \(i\) 行和第 \(j\) 列后得到的矩阵记作 \(M_ {i,j}\)，称为 \(\mathbf{A}\) 的 \((i,j)\) 元的余子式。
代数余子式：令 \(A_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}\)，则称 \(A_{i,j}\) 为 \(\mathbf{A}\) 的 \((i,j)\) 元的代数余子式。
定理：行列式可以按第 \(i\) 行展开：
\[|\mathbf{A}| = \sum _ {j=1} ^ {n} a_{i,j}A_{i,j} \]说明：从定义出发，容易明白。
另外，按列展开也是同理。
定理：\(\mathbf{A}\) 的第 \(i\) 行元素与第 \(k\) 行（\(k\ne i\)）相应元素的代数余子式的乘积的和为 \(0\)。
说明：相当于出现相同行，根据上文性质 \(5\) 可得结论。
另外，换成列也是同理的。
继续介绍特殊的行列式。
简题 \(3\)：计算 \(n\) 阶行列式（\(n> 1\)）：
\[\begin{vmatrix} a & b & 0 &\cdots & 0 & 0 \\ 0 & a & b & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a & b \\ b & 0 & 0 & \cdots & 0 & a \end{vmatrix} \]解：按第一列展开，容易得到：
\[\begin{aligned} 原式 & = a a^{n-1}+b(-1) ^ {n+1} b ^{n-1} \\ & = a^n + (-1) ^{n+1}b^ n \end{aligned} \]
简题 \(4\)：证明有关 Vandermonde 行列式的等式：
\[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 &\cdots & 1 & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_{n-1} & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 & \cdots & a_{n-1}^2 & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_1^{n-2} & a_2^{n-2} & a_3^{n-2} & \cdots & a_{n-1}^{n-2} & a_n^{n-2} \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & \cdots & a_{n-1}^{n-1} & a_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1\le j < i \le n} (a_i - a_j) \]说明：尝试归纳证明。
\(n=2\) 时显然成立。
尝试从下往上将第 \(i\) 行减去第 \(i-1\) 行的 \(a_1\) 倍。
简单因式分解后可提出因子 \(\prod \limits _ {i=2} ^ {n} (a_i - a_1)\)
后面的行列式是 \(n-1\) 阶行列式，运用归纳条件即可得证。
简题 \(5\)：计算 \(n\) 阶行列式（\(n>1\)）：
\[D _ n = \begin{vmatrix} x & 0 & 0 &\cdots & 0 & a_0 \\ -1 & x & 0 & \cdots & 0 & a_1 \\ 0 & -1 & x & \cdots & 0 & a_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & a_{n-2} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x+a_{n-1} \end{vmatrix} \]解：猜测有：
\[D_ n = x^n +\sum _ {i=0} ^ {n-1} a_i x ^ {i} \]将 \(D_n\) 按第一行展开后容易观察出归纳解法。
简题 \(6\)：计算 \(n\) 阶行列式：
\[D _ n = \begin{vmatrix} a+b & -b & 0 &\cdots & 0 & 0 \\ -a & a+b & -b & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -a & a+b & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a+b & -b \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -a & a+b \end{vmatrix} \]解：将第 \(2\sim n\) 列加到第 \(1\) 列上，然后按第 \(1\) 列展开。
\[\begin{aligned} D _ n & = \begin{vmatrix} a & -b & 0 &\cdots & 0 & 0 \\ 0 & a+b & -b & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -a & a+b & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a+b & -b \\ b & 0 & 0 & \cdots & -a & a+b \end{vmatrix} \\ & = a D_{n-1} + b (-1) ^ {n+1}(-b) ^ {n-1} \\ & = a D_{n-1} + b ^ n \end{aligned} \]欸，容易发现这是个高考递推，结果是 \(D_n = \sum\limits _ {i = 0 } ^ { n } a^ib^{n-i}\)。
简题 \(7\)：计算 \(n\) 阶行列式：
\[D _ n = \begin{vmatrix} a+b & ab & 0 &\cdots & 0 & 0 \\ 1 & a+b & ab & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a+b & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a+b & ab \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & a+b \end{vmatrix} \]解：按第一行展开，第二项中的行列式再按第一列展开。
\[\begin{aligned} D _ n & = (a+b) D _ {n - 1 } + (-1)^ {1+2} ab \cdot 1 \cdot D_{n-2} \\ & = (a+b) D _ { n - 1 } - ab D _ {n - 2} \end{aligned} \]欸，这是个线性齐次递推。
特征方程是 \((x-a)(x-b) = 0\)
代入 \(D_1,D_2\) 解一下，得到 \(c_1 = \dfrac{a}{a-b},c_2= -\dfrac{b}{a-b}\)。
最后就能得到：
\[D_ n = \dfrac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b} \]想高考一点的话，把二阶特征方程的推导思路写一下就好。（就是作差变成等比数列求和，最后联立一下，太套路了，不写了）
简题 \(8\)：计算 \(n\) 阶行列式：
\[\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 &\cdots & n-1 & n \\ n & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\ n-1 & n & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 3 & 4 & 5 & \cdots & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n & 1 \end{vmatrix} \]解：从上到下，将第 \(i\) 行减去第 \(i+1\) 行，然后将第 \(2\sim n\) 列加到第 \(1\) 列上，按第一列展开后，将剩余行列式的第 \(2\sim n-1\) 行减去第一行，最后再按最后一列展开即可。
\[\begin{aligned} 原式 & = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 &\cdots & n-1 & n \\ n & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\ n-1 & n & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 3 & 4 & 5 & \cdots & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n & 1 \end{vmatrix} \\ & = \begin{vmatrix} 1-n & 1 & 1 &\cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1-n & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1-n & \cdots & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1-n & 1 \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n & 1 \end{vmatrix} \\ & = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 &\cdots & 1 & 1 \\ 0 & 1-n & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1-n & \cdots & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 1-n & 1 \\ \dfrac{n(n+1)}{2} & 3 & 4 & \cdots & n & 1 \end{vmatrix} \\ & = (-1)^{n+1} \dfrac{n(n+1)}{2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 &\cdots & 1 & 1 \\ 1-n & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1-n & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1-n & 1 \end{vmatrix} \\ & = (-1)^{n+1} \dfrac{n(n+1)}{2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 &\cdots & 1 & 1 \\ -n & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -n & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -n & 0 \end{vmatrix} \\ & = (-1)^{n+1}\dfrac{n(n+1)}{2}(-1)^{1+(n-1)}(-n)^{n-2} \\ & = (-1) ^ {n-1} \dfrac{n+1}{2} n ^ {n-1} \end{aligned} \]
简题 \(9\)：数域 \(K\) 上的矩阵 \(\mathbf{A}=(a_{i,j})\)，记 \(\mathbf{A}(t) = (a_{i,j}+t)\)，求证：
\[|\mathbf{A}(t)| = |\mathbf{A}| + t \sum _ {i = 1 } ^ {n}\sum _ {j=1} ^ {n} A _ {i,j} \]说明：按照性质 \(3\) 拆开后实际易证。不多赘述。
简题 \(10\)：计算 \(n\) 阶行列式：
\[D_ n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 &\cdots & 1 & 1 \\ 1 & \dbinom{2}{1} & \dbinom{3}{1} & \cdots & \dbinom{n-1}{1} & \dbinom{n}{1} \\ 1 & \dbinom{3}{2} & \dbinom{4}{2} & \cdots & \dbinom{n}{2} & \dbinom{n+1}{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & \dbinom{n-1}{n-2} & \dbinom{n}{n-2} & \cdots & \dbinom{2n-4}{n-2} & \dbinom{2n-3}{n-2} \\ 1 & \dbinom{n}{n-1} & \dbinom{n+1}{n-1} & \cdots & \dbinom{2n-3}{n-1} & \dbinom{2n-2}{n-1} \end{vmatrix} \]解：由 \(\dbinom{n}{m}-\dbinom{n-1}{m-1}=\dbinom{n-1}{m}\)，可以从下向上将第 \(i\) 行减去第 \(i-1\) 行。
接下来按第一列展开，再不断重复操作即可。
容易知道 \(D_n=1\)。