Chapter 2 线性时不变系统 (LTI)
离散 LTI 系统
对于任意离散信号 \(x[n]\) ，都有
\[x[n]=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\delta[n-k]
\]
卷积
对于系统 LTI ：\(x[n] \stackrel{LTI}{\rightarrow} y[n]\)
设 \(\delta[n]\) 经过相同系统变为：$\delta[n] \stackrel{LTI}{\rightarrow} h[n] $
那么有\(y[n]=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k]\)
\(h[n]\) 可以看做一个变换 \(x[n]\) 性质的向量，
上述操作 \(\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k]\) 称为 \(x[n]\) 关于 \(h[n]\) 的卷积，
记作 \(x[n] * h[n]\)
卷积的性质
\[\begin{align}
y[n]=x[n]*h[n-m]&=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-m-k]\\
&=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}x[k-m]h[n-k]\\
&=x[n-m]*h[n]\\
&=y[n-m]
\end{align}
\]
连续 LTI 系统
\[\begin{align}
\hat{x}(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} x(k\Delta)\delta_\Delta(t-k\Delta) \Delta\\
\end{align}
\]
\[\begin{align}
x(t)&=lim_{\Delta \rightarrow 0} \hat{x}(t)\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau
\end{align}
\\
\]
\[y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau
\]