这是一个递归函数，其中有一个对自身的四次调用，并且在每次调用之后，输入的大小（N）减半。在函数的最后部分，有一个以Θ(N²)时间复杂度运行的函数g(N)。
现在让我们来计算这个函数的时间复杂度。
如果我们设T(N)为这个函数的时间复杂度，我们可以通过观察代码中的各个部分来构建一个递归方程。
递归的部分包含四个f4(N / 2)，所以它们的总时间复杂度是4T(N / 2)。
然后是g(N)，我们知道它的时间复杂度是Θ(N²)。
所以，我们可以建立一个递归方程，如下：
T(N) = 4T(N / 2) + Θ(N²)
这是一个典型的递归时间复杂度问题，可以使用主定理（Master Theorem）来解决。主定理可以帮助我们快速确定递归问题的时间复杂度。
根据主定理，如果我们有一个形式为T(n) = aT(n/b) + f(n)的递归关系，其中a >= 1，b > 1，f(n) 是一个正函数，我们可以比较f(n) 和n^log_b(a)的大小来决定T(n)的大小。
在我们的例子中，a = 4, b = 2, 且f(n) = n^2。所以n^log_b(a) = n^2。
在主定理的第二种情况中，k是一个非负实数，它出现在f(n)的定义中，即f(n) = Θ(n^log_b(a) * log^k(n))。
这里的k决定了除去n^log_b(a)的部分的增长率，也就是说，k是对数部分的次数。
如果k = 0，那么我们只有n^log_b(a)这一项。如果k = 1，那么我们有一个额外的log(n)因子。如果k = 2，那么我们有一个额外的(log(n))^2因子。依此类推。
主定理的第二种情况说明，如果f(n)与n^log_b(a)的增长率相同，并且我们有一个log^k(n)的因子（k大于或等于0），那么总体的时间复杂度就是n^log_b(a)乘以(log(n))的k+1次方。
换句话说，k决定了f(n)的复杂度在n^log_b(a)之上增长的速度。
确定k的值需要通过观察你的函数f(n)的形式来实现。
在主定理的第二种情况中，我们有 f(n) = Θ(n^log_b(a) * log^k(n))。如果你的函数f(n)具有这种形式，那么k的值就是log(n)项的指数。
举个例子，如果你有一个函数f(n) = n^2 * log^3(n)，并且你正在处理一个形如T(n) = aT(n/b) + f(n)的递归关系，那么你可以看到 f(n) 具有n^log_b(a) * log^k(n) 的形式。如果a = 4 和 b = 2，那么 log_b(a) 就是2，因此 n^log_b(a) 就是 n^2，这和f(n)的n^2项匹配。然后你看到 log^3(n)，所以这就告诉你 k = 3。
因此，确定k的值主要取决于你的f(n)函数的形式，特别是log(n)项的指数。
因为f(n) = Θ(n^log_b(a))，所以根据主定理的第二种情况，T(N) = Θ(n^log_b(a) * log^n) = Θ(N²logN)。
所以这个函数的时间复杂度是Θ(N²logN)。
主定理（Master Theorem）是一个用于解决递归式时间复杂度的常见工具。它可以帮助我们确定一些形式为T(n) = aT(n/b) + f(n)的递归关系的解。在这个等式中：
- n是问题的规模。
- a是子问题的数量。
- n/b是每个子问题的大小。
- f(n)是将子问题组合在一起的工作量。
主定理定义了三种情况，可以帮助我们找出这种形式的递归式的时间复杂度：
1. 如果f(n)是O(n^c)，其中c < log_b(a)，那么问题的时间复杂度是Θ(n^log_b(a))。
2. 如果f(n)是Θ(n^log_b(a) * log^k(n))，其中k >= 0，那么问题的时间复杂度是Θ(n^log_b(a) * log^(k+1)(n))。
3. 如果f(n)是Ω(n^c)，其中c > log_b(a)，如果a*f(n/b) <= k*f(n)对于某个常数k<1和所有足够大的n都成立，那么问题的时间复杂度是Θ(f(n))。
注意，主定理并不能解决所有形式的递归式，但对于许多常见形式的递归式，它都是一个非常有用的工具。