求炮弹在某一时刻的运动方向和速度大小-526互联

例：以初速度$v_{0}$、发射角$a$发射炮弹，其弹道的轨迹方程为

$ \begin{cases} & x=v_{0}t\cos a ,\\ & y=v_{0}t\sin a-\frac{1}{2}gt^{2} , \end{cases} $ 求: 1. 炮弹在 $t$ 时刻的运动方向； 2. 炮弹在 $t$ 时刻的速度的大小.

解

炮弹在 $t$ 时刻的运动方向就是其轨迹曲线在 $t$ 时刻的切线方向，所以只需求出切线的斜率.因为在t时刻轨迹曲线的切线斜率

$\frac{dy}{dx} =\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt} } =\frac{v_{0}sina-gt}{v_{0}cosa} $ 所以，炮弹在 $t$ 时刻的运动方向与 $x$ 轴的正向夹角是 $\arctan \frac{v_{0}sina-gt}{v_{0}cosa}$.

炮弹在 $t$ 时刻沿 $x$ 轴正向的分速度为 $v_{x}=\frac{dx}{dt}=v_{0}cosa $，沿 $y$ 轴正向的分速度为 $v_{y}=\frac{dy}{dt}=v_{0}sina-gt$，故炮弹在 $t$ 时刻的速度的大小为

$v=\sqrt{v^{2}_{x}+v^{2}_{y}} =\sqrt[]{(v_{0}cosa)^{2}+(v_{0}sina-gt)^{2}} =\sqrt[]{v^{2}_{0}-2v_{0}gtsina+(gt)^{2}} $.