R实数系的连续性与数系的扩充历史

实数系的连续性:
实数集合R重要的基本性质—“连续性”
“确界存在定理”就是R连续性在分析角度的多种等价表述之一.

数系的扩充历史

1. N自然数集合:
   N上“+”与“*”是封闭的，但“-”不封闭.

2. Z整数集合: Z上“+”, “-”与“*”封闭的，但“/”不封闭.
   Z有“离散性”.

3. Q有理数集合Q={x|x =p/q, q∈N+,p∈Z}:
   Q上“+”, “-”, “*”, “/”都封闭. 但“开方”不封闭.
   Q有“稠密性”, 但在坐标轴上有“无理数点空隙”!
   边长为1的正方形对角线长不是有理数(数学史上Pythagoras学派Hippasus发现)

4. R实数集合R={x|x是有理数或无理数}
   R有“连续性”: 铺满整个数轴没“空隙”! 又称R连续统.