神经网络的梯度下降

在这篇博客中，讲的是实现反向传播或者说梯度下降算法的方程组

单隐层神经网络会有$W^{[1]}$，$b^{[1]}$，$W^{[2]}$，$b^{[2]}$这些参数，还有个$n_x$表示输入特征的个数，$n^{[1]}$表示隐藏单元个数，$n^{[2]}$表示输出单元个数。

在这个例子中，只介绍过的这种情况，那么参数:

矩阵$W^{[1]}$的维度就是($n^{[1]}, n^{[0]}$)，$b^{[1]}$就是$n^{[1]}$维向量，可以写成$(n^{[1]}, 1)$，就是一个的列向量。
矩阵$W^{[2]}$的维度就是($n^{[2]}, n^{[1]}$)，$b^{[2]}$的维度就是$(n^{[2]},1)$维度。

还有一个神经网络的成本函数，假设在做二分类任务，那么的成本函数等于：

Cost function:

公式：

$J(W^{[1]},b^{[1]},W^{[2]},b^{[2]}) = {\frac{1}{m}}\sum_{i=1}^mL(\hat{y}, y)$

loss function和之前做logistic回归完全一样。

训练参数需要做梯度下降，在训练神经网络的时候，随机初始化参数很重要，而不是初始化成全零。当参数初始化成某些值后，每次梯度下降都会循环计算以下预测值：

$\hat{y}^{(i)},(i=1,2,…,m)$

公式1.28：

$dW^{[1]} = \frac{dJ}{dW^{[1]}},db^{[1]} = \frac{dJ}{db^{[1]}}$

公式1.29：

${d}W^{[2]} = \frac{{dJ}}{dW^{[2]}},{d}b^{[2]} = \frac{dJ}{db^{[2]}}$

其中

公式1.30：

$W^{[1]}\implies{W^{[1]} - adW^{[1]}},b^{[1]}\implies{b^{[1]} -adb^{[1]}}$

公式1.31：

$W^{[2]}\implies{W^{[2]} - \alpha{\rm d}W^{[2]}},b^{[2]}\implies{b^{[2]} - \alpha{\rm d}b^{[2]}}$

正向传播方程如下（之前讲过）：

forward propagation：

(1)
$z^{[1]} = W^{[1]}x + b^{[1]}$
(2)
$a^{[1]} = \sigma(z^{[1]})$
(3)
$z^{[2]} = W^{[2]}a^{[1]} + b^{[2]}$
(4)
$a^{[2]} = g^{[2]}(z^{[z]}) = \sigma(z^{[2]})$

反向传播方程如下:

back propagation：

公式1.32：

$ dz^{[2]} = A^{[2]} - Y , Y = \begin{bmatrix}y^{[1]} & y^{[2]} & \cdots & y^{[m]}\ \end{bmatrix} $

公式1.33：

$ dW^{[2]} = {\frac{1}{m}}dz^{[2]}A $

公式1.34：

$ {\rm d}b^{[2]} = {\frac{1}{m}}np.sum({d}z^{[2]},axis=1,keepdims=True)$

公式1.35：

$ dz^{[1]} = \underbrace{W^{[2]T}{\rm d}z^{[2]}}_{(n,m)}\quad\underbrace{{g^{[1]}}{'}}_{activation ; function ; of ; hidden ; layer}\quad\underbrace{(z^{[1]})}_{(n,m)} $

公式1.36：

$dW^{[1]} = {\frac{1}{m}}dz^{[1]}x^{T}$

公式1.37：

${\underbrace{db^{[1]}}_{(n^{[1]},1)}} = {\frac{1}{m}}np.sum(dz^{[1]},axis=1,keepdims=True)$

上述是反向传播的步骤，注：这些都是针对所有样本进行过向量化，$Y$是$1×m$的矩阵；这里np.sum是python的numpy命令，axis=1表示水平相加求和，keepdims是防止python输出那些古怪的秩数$(n,)$，加上这个确保阵矩阵$db^{[2]}$这个向量输出的维度为$(n,1)$这样标准的形式。

目前为止，计算的都和Logistic回归十分相似，但当开始计算反向传播时，需要计算，是隐藏层函数的导数，输出在使用sigmoid函数进行二元分类。这里是进行逐个元素乘积，因为$W^{[2]T}dz^{[2]}$和$(z^{[1]})$这两个都为$(n^{[1]},m)$矩阵；

还有一种防止python输出奇怪的秩数，需要显式地调用reshape把np.sum输出结果写成矩阵形式。

以上就是正向传播的4个方程和反向传播的6个方程，这里是直接给出的。