定义
集合幂级数
- 对于域 \(F\)，称函数 \(f:2^U\to F\) 是 \(F\) 上的集合幂级数。
- \(\forall S\in 2^U\)，记 \(f_S\) 为 \(S\) 带入函数 \(f\) 后的函数值，称 \(f_S\) 为 \(f\) 的第 \(S\) 项系数。
- \(\forall S\in 2^U\)，用符号 \(f_Sx^S\) 表示一个集合幂级数的第 \(S\) 项系数为 \(f_S\)，注意这里 \(x^S\) 只是占位符。
加法
对于集合幂级数 \(f,g\)，定义 \(h=f+g\iff \forall S\in 2^U,h_S=f_S+g_S\)。
集合幂级数构成加法阿贝尔群，零元为所有系数均为 \(0\) 的集合幂级数。
在定义加法后，我们可以用 \(f=\sum_{S\in 2^U}f_Sx^S\) 表示一个集合幂级数。
乘法
记集合幂级数乘法 \(h=f\cdot g\)，且 \(\cdot\) 对 \(+\) 有分配律，推一下式子：
\[\sum_{S\in 2^U}h_Sx^S=\left( \sum_{S\in 2^U}f_Sx^S \right)\left( \sum_{S\in 2^U}g_Sx^S \right)=\sum_{S,T\in2^U}(f_Sx^S)\cdot (g_Tx^T)
\]
由此我们发现需要引入一个 \(2^U\) 中的运算 \(*\)，为了简便，我们假设其满足交换律、结合率，且存在单位元 \(\emptyset\)，然后定义 \((f_Sx^S)\cdot (g_Tx^T)=(f_Sg_T)x^{S*T}\)。
由此可以定义出的集合幂级数乘法满足交换律、结合率，以及对加法的分配律。
把 \(c\in F\) 看作 \(cx^{\emptyset}\)，那么 \(\forall S\in 2^U\)，\(cx^S=c \cdot x^S\)。集合幂级数形成了交换环，且 \(F\) 是其子环。
下面我们讨论 \(*\) 取不同运算时的集合幂级数乘法。