给 EI 题解写注 qwq。。
化简方差：
\[\frac{1}{n}\sum(a_i-\overline a)^2\\
=\frac{1}{n}(\sum a_i^2-2\overline {a}\sum a_i+n\overline a^2)\\
=(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2})\sum a_i^2-\frac{\sum_{i\neq j}a_ia_j}{n^2}
\]
前面那个系数 \(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}\) 由 \(\sum a_i\) 贡献 \(\dfrac{1}{n}\)，由 \(-2\overline {a}\sum a_i\) 贡献 \(-\dfrac{2}{n^2}\)，由 \(n\overline a^2\) 贡献 \(\dfrac{1}{n^2}\)。
考虑所有非空子序列。枚举长度（设 \(L=r-l+1\)）有：
\[\left(\sum_{k=1}^L \binom{L}{k}\frac{k}{L}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k^2})\right)\sum a_i^2-\left(\sum_{k=1}^L \binom{L}{k}\frac{k(k-1)}{L(L-1)}\frac{1}{k^2}\right)\sum_{i\neq j}a_ia_j\\
=\left(\sum_{k=1}^L \binom{L-1}{k-1}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k^2})\right)\sum a_i^2-\left(\sum_{k=1}^L \binom{L-2}{k-2}\frac{1}{k^2}\right)\sum_{i\neq j}a_ia_j\\
=\left(\sum_{k=0}^{L-1} \binom{L-1}{k}(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{(k+1)^2})\right)\sum a_i^2-\left(\sum_{k=0}^{L-2} \binom{L-2}{k}\frac{1}{(k+2)^2}\right)\sum_{i\neq j}a_ia_j\\
\]
很显然，知道这两个大的括号括起来的东西就可以了。容易知道 \(\sum a_i^2\) 和 \(\sum_{i\neq j}a_ia_j\)，其中
\[\sum_{i\neq j}a_ia_j=\left(\sum a_i\right)^2-\sum a_i^2
\]
据 EI 说，这一类超几何项求和式有某类共性，但是我不知道。
先处理前一半。
\[A_L=\sum _k\binom{L-1}{k}\frac{1}{k+1}\\
=\sum _k\binom{L-1}{k}\int_0^1x^kdx=\int_0^1\sum_k \binom{L-1}{k}x^kdx\\
A_L=\int _0^1(x+1)^{L-1}dx=\frac{(x+1)^L}{L}\bigg|_0^1=\frac{2^L-1}{L}
\]
再次尝试用这个办法干
\[B_L=\sum_k \binom{L-1}{k}\frac{1}{(k+1)^2}\\
=\sum_k \binom{L-1}{k}\frac{1}{k+1}\int _0^1x^kdx\\
=\sum_k \binom{L-1}{k}\int_0^1x^k\int_0^1y^kdydx\\
=\int _0^1\int_0^1\sum_k\binom{L-1}{k}x^ky^kdydx\\
=\int_0^1\int_0^1(xy+1)^{L-1}dydx\\
=\int_0^1\frac{(x+1)^L-1}{Lx}dx\\
\]
看起来有点抽象。
\[B_L=\int_0^1\frac{(x+1)^{L+1}-(x+1)}{Lx(x+1)}dx\\
=\int_1^2\frac{u^{L+1}-u}{L(u-1)u}du=\int_1^2\frac{u^{L}-1}{L(u-1)}du\\
=\frac{1}{L}\int_1^2\sum _{i=0}^{L-1}u^idu\\
=\frac{1}{L}\sum _{i=1}^{L}\int_0^1(x+1)^{i-1}dx\\
\]
这，就不抽象了吧？
\[B_L=\frac{1}{L}\sum_{i=1}^LA_i
\]
接下来是后半部分。
\[C_L=\sum_{k=0}^{L-2} \binom{L-2}{k}\frac{1}{k+2}\\
=\sum _k\binom{L-2}{k}\int_0^1x^{k+1}dx\\
=\int_0^1x\sum_k\binom{L-2}{k}x^kdx\\
C_L=\int _0^1x(x+1)^{L-2}dx\\
=\int_0^1xd\left(\frac{(x+1)^{L-1}}{L-1}\right)\\
=\frac{x(x+1)^{L-1}}{L-1}\bigg|_{0}^1-\int_0^1\frac{(x+1)^{L-1}}{L-1}dx\\
=\frac{2^{L-1}}{L-1}-\frac{1}{L-1}\int_0^1(x+1)^{L-1}dx\\
=\frac{2^{L-1}-A_L}{L-1}
\]
其实后几步可以省略因为没用。
虽然接下来的部分没有新意，但是我还是愿意将过程和结果展示在这里方便直接拿走（谁愿意进行这些体力劳动呢？）
\[D_L=\sum_{k=0}^{L-2} \binom{L-2}{k}\frac{1}{(k+2)^2}\\
=\sum_{k=0}^{L-2} \binom{L-2}{k}\frac{1}{(k+2)}\int _0^1x^{k+1}dx\\
=\sum_{k=0}^{L-2} \binom{L-2}{k}\int _0^1x^{k+1}\int _0^1y^{k+1}dydx\\
=\int _0^1\int _0^1xy\sum_{k=0}^{L-2} \binom{L-2}{k}x^ky^{k}dydx\\
=\int _0^1\frac{1}{x}\int _0^1xy(xy+1)^{L-2}d(xy)dx\\
=\int_0^1\frac{1}{x}\left(\int_0^xy(y+1)^{L-2}dy\right)dx\\
=\int_0^1\frac{Lx(x+1)^{L-1}-(x+1)^L+1}{xL(L-1)}dx\\
=\int _0^1\frac{(x+1)^{L-1}}{L-1}dx-\frac{1}{(L-1)}\int_0^1\frac{(x+1)^L-1}{Lx}dx\\
=\frac{A_L-B_L}{L-1}
\]
原式等于
\[(A_L-B_L)\sum a_i^2-D_L\sum_{i\neq j}a_ia_j\\
\]