目前为止我是 Luogu 上最优解，不保证后面会不会被神仙同学刷下来，比如 @sinsop90。
upd : 现在不是了，@JWRuixi 用循环展开把我爆踩/ll。
令 \(a_{i,0}\) 表示第 \(i\) 层上面那个门，\(a_{i,1}\) 表示右边的门，\(b_{i,0/1}\) 分别表示它们连向的格子。
首先对于一个询问点对 \((u,v)\)，我们考虑一个平凡的 dp：
\(dp_{i,0/1}\) 表示从起点 \(u\) 出发并从第 \(i\) 层的上方/右方走出的最短路，包括走出后到达的那个格子，即如果是从 \(a_{i,0}\) 上方走出，答案包括点 \((x(a_{i,0})+1,y(a_{i,0}))\) 的贡献。
比如上面这张图，对于询问 \(u=(2,2)\)，\(dp_{3,0}=4\)，即 \((2,2)\to(2,1)\to(3,1)\to(3,2)\to (4,2)\)，一共走了 \(4\) 步。
显然有：
\[dp_{i,j}=\min\limits_{k\in \{0,1\}}\{dp_{i-1,k}+dis(b_{i-1,k},b_{i,j})\}
\]
这个 \(dis\) 显然是可以 \(O(1)\) 计算且固定的，那我们就做完了。
把这个转移写成矩阵形式：
\[[dp_{i-1,0}\quad dp_{i-1,1}]\begin{bmatrix}dis(b_{i-1,0},b_{i,0})\quad dis(b_{i-1,0},b_{i,1})\\dis(b_{i-1,1},b_{i,0})\quad dis(b_{i-1,1},b_{i,1})\end{bmatrix}=[dp_{i,0}\quad dp_{i,1}]
\]
转移矩阵对于每一位是固定的，于是对于 \(u\to v\) 为 \(l\) 层到 \(r\) 层的询问，中间 \(l+1,r-1\) 层的转移可以倍增求区间积，两边暴力转移即可。
复杂度 \(O(b^3q\log n)\)，\(b\) 为矩阵大小即 \(2\)。