$X$代表随机变量，$x$是具体的值。
规定：连续型随机变量取任意指定值的概率为$0$，即：$P(X=a)=0$
概率密度函数$f(x)$
某个邻域内概率的变化快慢。概率密度函数的值是概率的变化率，概率密度函数的面积才是概率。
于是可以得知$(a,b]$的概率：$P(a<X\le b)=\int_a^bf(x)dx$
性质：$f(x)\ge 0$ ，$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$。这两点是判断$f(x)$是否是概率密度函数的充要条件。
概率分布函数$F(x)$
是$X$取$\le x$的概率之和，故又称概率累积概率函数。
于是可以得知$(a,b]$的概率：$P(a<X\le b)=F(b)-F(a)$
两者的联系
$F(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt$
$f(x)=F'(x)$
由密度函数$f$求分布函数$F$
$F(x),$ $F_X(x)$，$X$的分布函数，$P\{X\le x\}$都是同一概念。
一维
$f(x)=\begin{cases} 0, x\le 0\\e^{-x},x>0 \end{cases}$
已知$Y=\begin{cases} 2,X\le 1\\X,X>1 \end{cases}$，求$F(y)$
$F(y)=P(Y\le y)=P(2\le y,X\le 1)+P(X \le y,X>1)$
$=\begin{cases} \int_{-\infty}^{1}f(x)dx,y\ge2\\0,y<2 \end{cases}+\begin{cases}\int_{1}^{y}f(x)dx,y\ge1\\0,y<1 \end{cases}$
$=\begin{cases} 1-e^{-1},y\ge2\\0,y<2 \end{cases}+\begin{cases} e^{-1}-e^{-y},y\ge1\\0,y<1 \end{cases}$
$=\begin{cases} 0,y<1 \\e^{-1}-e^{-y},1\le y<2\\1-e^{-y},y\ge 2 \end{cases}$
二维连续型求概率，求$(X,Y)$的联合分布函数，求$F(x,y)$，求$P\{X\le x,Y\le y \}$是同一概念。
二维：
例1.
$f(x,y)=\begin{cases} 2-x-y, \;\;0<x<1,0<y<1\\0,其他 \end{cases}$
求$P\{X>2Y\}$
$P\{X>2Y\}=\iint\limits_{D}(2-x-y)dxdy$
$D$是满足条件的区域即$Y\le\frac{X}{2}$与$f(x,y)$非零区域的交集。
画图可知，结果为$\iint\limits_{D}(2-x-y)dxdy=\int_0^{1}dx\int_0^{\frac{x}{2}}(2-x-y)dy=\frac{7}{24}$
例2.
$f(x,y)=\begin{cases} x+y, \;\;0<x<1,0<y<1\\0,其他 \end{cases}$
求$P\{X\le x,Y\le y\}$
$\iint\limits_{D}(x+y)dxdy=\begin{cases} \frac{x^2y}{2}+\frac{xy^2}{2} ,\;0< x<1,0<y<1 \\ \frac{x^2}{2}+\frac{x}{2},\;0<x<1,y\ge1 \\ 1,\;x\ge1,y\ge1 \\ \frac{y}{2}+\frac{y^2}{2} ,\; x\ge1,0<y<1 \\0,其他 \end{cases}$
由分布函数$F$求密度函数$f$
一维：求导
二维：求$x$和$y$的混合偏导
由密度函数$f$求另一个密度函数$f$
一维
先求$F$，然后再求导得$f$。
例1.
$f(x)=\begin{cases} 0, x\le 0\\e^{-x},x>0 \end{cases}$
已知$Y=2X$，求$f_Y(y)$。
$F(y)=P\{Y\le y \}=P\{2X\le y\}=P\{X \le \frac{y}{2}\}$
当$y\le 0$，$F(y)=0$；当$y >0$，$F(y)=\int _0^{\frac{y}{2}}e^{-x}dx=1-e^{-\frac{y}{2}}$
$f(y)=\begin{cases} \frac{1}{2}e^{-\frac{y}{2}},y>0\\0,y\le 0 \end{cases}$
二维
先求$F$，然后再求导得$f$。
例1.
$f(x,y)=\begin{cases} 2e^{-(x+2y)} ,\;\;x>0,y>0 \\0,其他 \end{cases}$
已知$Z=X+2Y$，求$f_Z(z)$
$F(z)=P\{Z\le z\}=P\{X+2Y\le z \}$
$Y\le \frac{z}{2}-\frac{X}{2}$，画图可知，当$z\le 0$交集为空。
$F(z)=\iint\limits_D 2e^{-(x+2y)}dxdy=\int_0^z 2e^{-x}dx\int_0^{\frac{z}{2}-\frac{X}{2}}e^{-2y}dy=1-e^{-z}-ze^{-z}$，$z\ge 0$
于是，求导可得，$f(z)=\begin{cases} ze^{-z},z\ge0 \\0,z<0 \end{cases}$
二维连续型求边缘分布函数
边缘分布函数$F_X(x)=F(x,+\infty)$，$F_Y(y)=F(y,+\infty)$
例题.
设随机变量$(X,Y)$的分布函数：
$F(x,y)=\frac{1}{\pi^2}(\frac{\pi}{2}+arctanx)(\frac{\pi}{2}+arctan2y)$，$-\infty<x<+\infty$，$-\infty <y<+\infty$
于是$F_X(x)=\frac{1}{\pi^2}(\frac{\pi}{2}+arctanx)(\pi)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}arctanx$
$F_Y(y)=\frac{1}{\pi^2}(\frac{\pi}{2}+arctan2y)(\pi)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}arctan2y$
二维连续型求边缘概率密度函数
$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$，$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$
例1.
设区域$G$是由$x-y=0,x+y=2$与$y=0$所围成的三角形区域，二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为
$f(x,y)=\begin{cases} 1,(x,y)\in G\\0,其他 \end{cases}$
求$(X,Y)$的边缘概率密度
$f_X(x)=\begin{cases} \int_{0}^{x}1dy, 0\le x\le1\\\int_{0}^{2-x}1dy, 1<x \le2\\0,其他 \end{cases}=\begin{cases} x, 0\le x\le1\\2-x, 1<x\le 2\\0,其他 \end{cases}$
$f_Y(y)=\begin{cases} \int_{y}^{2-y}1dx, 0\le y\le1 \\ \\0,其他 \end{cases}=\begin{cases}2-2y, 0\le y\le1 \\ \\0,其他 \end{cases}$
例2.
$f(x,y)=\begin{cases} 2e^{-(x+2y)} ,\;\;x>0,y>0 \\0,其他 \end{cases}$
求$(X,Y)$边缘概率密度$f_X(x)$和$f_Y(y)$。
$f_X(x)=\begin{cases}\int_0^{+\infty}2e^{-x}e^{-2y}dy,x>0\\0,其他 \end{cases}=\begin{cases} e^{-x},x>0 \\0,其他 \end{cases}$
$f_Y(y)=\begin{cases}\int_0^{+\infty}2e^{-x}e^{-2y}dx,y>0\\0,其他 \end{cases}=\begin{cases} 2e^{-2y},y>0 \\0,其他 \end{cases}$
已知两个边缘密度函数，求$f(x,y)$
$f_X(x)=\begin{cases}e^{-x},x>0\\0,其他 \end{cases}$，$f_Y(y)=\begin{cases}2e^{-2y},y>0\\0,其他 \end{cases}$
$X$和$Y$相互独立。
直接按定义取两个函数不等于$0$部分的并集即可，然后两个函数相乘。
$f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(x+2y)},x>0,y>0\\0,其他 \end{cases}$