或许这个 trick 很简单，但我确实是现在才知道。。。
这个方法其实是由局限性的，对于不定形的环是难以处理的。
用最近联考的一道简单题说明一下这个玩意。
\(\mathbb{51Nod \ 5114}\)
可以很轻松的拿出式子， \(E(i) = E(i - 1) \times (1 - p_{i}) + E(i + 1) \times p_{i} + 1\) ，发现这个是有后效性的，可以想到用高斯消元，但是 \(\Theta(n ^ 3)\) 一定过不了，则令 \(E(i) = E(i - 1) \times k_i + c_i\) 表示这个式子，即是说把 \(E(i)\) 表示成一个只和 \(E(i - 1)\) 有关的式子。
则， \(E(i + 1) = E(i) \times (1 - p_{i}) + c_{i + 1}\) ， 带回去，得到 \(E(i) = E(i - 1) \times (1 - p_{i}) + E(i) \times k_{i + 1} + c_{i + 1} + 1\) ， 整理后变成 \(E(i) = \large\frac{E(i - 1) \times (1 - p_{i}) + c_{i + 1} + 1}{1 - k_{i + 1}}\) 。
然后把 \((k_i, c_i)\) 当成一个二元组，显而易见的 \((k_n, c_n) = (0, 0)\) ，要求的是 \((k_1, c_1)\) 因为 \(1\) 没有前驱，则 \(E(1) = c_1\) ，则只需要迭代把 \(c_1\) 求出来就可以了，由刚刚推出来的式子可知 \((k_i, c_i) = (\frac{1 - p_{i}}{k_{i + 1}}, \frac{c_{i + 1}}{k_{i + 1}})\)
\(\mathbb{HUD \ 4035}\)
其实是差不多的，只是搬到了树上，把式子表示成只和 \(fa_i\) 有关的一个多项式就可以了，常数项是所有子节点的贡献，因为课上讲过，就不写了。