题目描述：
给定 \(n\) 和一个长度为 \(2n\) 的序列 \(a\)，满足 \([1,n]\) 每个数恰好出现两次。
每一次操作可以交换相邻的两个数，询问最少多少次操作可以使得序列 \(a\) 满足 \(\forall i\in[1,n] \quad a_{2i} = a_{2i-1}\)。
\(1 \le n \le 2 \times 10^5\)
题目分析：
若只有两个数，则本质上只有下面这两种情况：\(1212\) 和 \(1221\)
可以发现对于第一种情况，最小的操作次数必然是变成 \(1122\)，而第二种则可以变成 \(1122\) 或者 \(2211\) 均可。
扩展一下，也就是说设 \(l_i\) 表示 \(i\) 第一次出现的位置，\(r_i\) 表示 \(i\) 最后一次出现的位置。
若存在 \(l_i < l_j\) 且 \(r_i < r_j\)，则 \(i\) 必然排在 \(j\) 的前面。
暴力就是 \(O(n^2)\) 建边然后跑最小拓扑序即可。
优化的话有以下两种做法。
做法一：
考虑如果只有 \(l_i < l_j\) 这一维的限制很好做，就是前缀和优化建图。
既然一维我们会了，二维就是对第一维分治，这样就转化为了只剩一维限制的了。
做法二：
考虑这个其实就是一个二维偏序，所以可以使用线段树优化建图，也就是按照 \(l\) 排序之后在线段树上维护 \(r\)。
但是我们因为存在 \(l\) 的限制，所以我们不能只在一棵线段树上操作，要对线段树可持久化，这样才能保证贡献是对的。
代码：
做法一：
点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5+5;
struct edge{
int nxt,to;
edge(){}
edge(int _nxt,int _to){
nxt = _nxt,to = _to;
}
}e[100 * N];
int cnt,head[50 * N],tot,pos1[N],pos2[N],a[N],b[N],deg[50 * N],L[N],R[N];
void add_edge(int from,int to){
// printf("%d %d\n",from,to);
e[++cnt] = edge(head[from],to);
head[from] = cnt;
deg[to]++;
}
bool cmp(int a,int b){
return L[a] < L[b];
}
void solve(int l,int r){ //分治
if(l == r) return;
int mid = (l + r) >> 1;
solve(l,mid);solve(mid+1,r);
int posl = l,posr = mid+1;
for(int i=l; i<=mid; i++){ //前缀和优化
++tot;pos1[i] = tot;add_edge(a[i],pos1[i]);
if(i != l) add_edge(pos1[i-1],pos1[i]);
}
for(int i=r; i>=mid+1; i--){
++tot;pos2[i] = tot;add_edge(pos2[i],a[i]);
if(i != r) add_edge(pos2[i],pos2[i+1]);
}
int sz = l-1;
while(posl <= mid && posr <= r){ //归并
if(R[a[posl]] < R[a[posr]]) add_edge(pos1[posl],pos2[posr]),b[++sz] = a[posl],++posl;
else b[++sz] = a[posr],++posr;
}
while(posl <= mid) b[++sz] = a[posl],++posl;
while(posr <= r) add_edge(pos1[mid],pos2[posr]),b[++sz] = a[posr],++posr;
for(int i=l; i<=r; i++) a[i] = b[i];
}
int main(){
// freopen("in.txt","r",stdin);
// freopen("out.txt","w",stdout);
int n;scanf("%d",&n);
for(int i=1; i<=2*n; i++){
int x;scanf("%d",&x);
if(!L[x]) L[x] = i;
R[x] = i;
}
for(int i=1; i<=n; i++) a[i] = i;
sort(a+1,a+n+1,cmp);
tot = n;
solve(1,n);
queue<int> q1;priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q2;
for(int i=1; i<=tot; i++){
if(!deg[i]){
if(i <= n) q2.push(i);
else q1.push(i);
}
}
while(!q1.empty() || !q2.empty()){ //必须优先弹出新建的点，不然就寄了
int now;
if(!q1.empty()) now = q1.front(),q1.pop();
else now = q2.top(),q2.pop();
if(now <= n) printf("%d %d ",now,now);
for(int i=head[now]; i; i=e[i].nxt){
int to = e[i].to;
deg[to]--;
if(!deg[to]){
if(to <= n) q2.push(to);
else q1.push(to);
}
}
}
return 0;
}
做法二：
点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5+5;
struct edge{
int nxt,to;
edge(){}
edge(int _nxt,int _to){
nxt = _nxt,to = _to;
}
}e[100 * N];
int l[N],r[N],cnt,tot,pos[100 * N],head[100 * N],deg[100 * N],a[N],ls[100*N],rs[100*N];
void add_edge(int from,int to){
// printf("%d %d\n",from,to);
e[++cnt] = edge(head[from],to);
head[from] = cnt;
deg[to]++;
}
bool cmp(int a,int b){
return l[a] < l[b];
}
void modify(int &now,int now_l,int now_r,int x,int y){
if(now){
++tot;ls[tot] = ls[now],rs[tot] = rs[now];
now = tot;
}
else ++tot,now = tot;
if(now_l == now_r){
add_edge(y,now);
return;
}
int mid = (now_l + now_r)>>1;
if(x <= mid) modify(ls[now],now_l,mid,x,y);
if(x > mid) modify(rs[now],mid+1,now_r,x,y);
if(ls[now]) add_edge(ls[now],now);
if(rs[now]) add_edge(rs[now],now);
}
void query(int now,int now_l,int now_r,int l,int r,int x){
if(!now) return;
if(l <= now_l && now_r <= r){
add_edge(now,x);
return;
}
int mid = (now_l + now_r)>>1;
if(l <= mid) query(ls[now],now_l,mid,l,r,x);
if(r > mid) query(rs[now],mid+1,now_r,l,r,x);
}
int main(){
// freopen("in.txt","r",stdin);
// freopen("out.txt","w",stdout);
int n;scanf("%d",&n);
for(int i=1; i<=2*n; i++){
int x;scanf("%d",&x);
if(!l[x]) l[x] = i;
r[x] = i;
}
for(int i=1; i<=n; i++) a[i] = i;
sort(a+1,a+n+1,cmp);
tot = n;
int rt = 0;
for(int i=1; i<=n; i++){
query(rt,1,2*n,1,r[a[i]]-1,a[i]);
modify(rt,1,2*n,r[a[i]],a[i]);
}
queue<int> q1;priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q2;
for(int i=1; i<=tot; i++){
if(!deg[i]){
if(i <= n) q2.push(i);
else q1.push(i);
}
}
while(!q1.empty() || !q2.empty()){ //必须优先弹出新建的点，不然就寄了
int now;
if(!q1.empty()) now = q1.front(),q1.pop();
else now = q2.top(),q2.pop();
if(now <= n) printf("%d %d ",now,now);
for(int i=head[now]; i; i=e[i].nxt){
int to = e[i].to;
deg[to]--;
if(!deg[to]){
if(to <= n) q2.push(to);
else q1.push(to);
}
}
}
return 0;
}