只做理解类记录，哪个知识点忘了去看视频。前四章是概率，看的框框老师。
概率论
1、随机试验：可重复性、可预知性、不确定性 2、样本空间：随机试验E的所有可能结果，记为S或Ω 3、样本点：样本空间中的每一个元素e 4、随机事件：样本空间的子集，简称事件 5、事件发生：子集中某个样本点出现，不需要全部样本点出现 必然事件：整个样本空间 不可能事件：空集 6、事件间的关系与运算： 包含：A发生必然导致B发生，A∈B 并：A或B至少发生一个，A∪B 交：A和B同时都发生，A∩B 差：A发生B不发生，A-B， A-B-C 减谁谁不发生，A-B=A-AB 互斥：AB=∅ 对立事件：A拔=B，B拔=A 交换律（顺序调换）、结合律（括号移位）、分配律（括号外的带着符号分别于括号里的配一起，还要加括号） 德摩根律：长杠变短杠（或短杠变长杠），开口变方向 7、概率的定义与性质 P(A) 非负性：P(A)的值域 [0,1] 规范性：P(Ω)=1，P(∅)=0 有限可加性：若A、B互斥，则 P(AUB) = P(A) + P(B) 互补性：P(A拔)= 1 - P(A) 重要公式： 减法公式： P(A-B) = P(A)-P(AB) 如果B是A的子集，则 P(A-B) = P(A)-P(B) P(AB拔)= P(A-B) 加法公式： P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB) P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) 把AUB看做整体可以推出来 最后一位加奇减偶，AUB是偶要减，AUBUC是奇要加 8、古典概型 有限性：样本点是有限个 等可能性：每个样本点发生概率相等 P(A) = A的样本点个数 / Ω的样本点个数 排列组合：从n个元素中任取r个元素 的取法总数公式。 组合：不讲取出元素间的次序。用长括号上下两个值表示，也用C加两个数字表示。所有组合总数：n!/[r!(n-r)!] 排列：讲次序。 所有排列总数：n!/(n-r)! 9、几何概型 样本空间与几何区域有关（线段、平面、立体） 等可能性：向Ω的区域内任意投一点，落在区域内任何一点的可能性相等。 P(A) = A的长度、面积、体积 / Ω的长度、面积、体积 10、条件概率 事件B在事件A条件下的条件概率： P(B|A) = P(AB) / P(A) P(B拔|A) = 1 - P(B|A) P(BUC|A) = P(B|A) + P(C|A) - P(BC|A) P(B-C|A) = P(B|A) - P(BC|A) 11、乘法公式 P(AB) = P(A)P(B|A) P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB) 12、全概率公式 完备事件组，也叫划分（划分分法不唯一）。两两互斥，完备性（相加等于全集）。 P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + …… + P(An)P(B|An) 本质是将一个复杂事件，转化为若干个小划分事件，以及相应的条件概率，乘积再相加。复杂事件简单化。 13、贝叶斯公式 已知B发生的条件下，第Ai个小划分事件发生的条件概率 P(Ai|B) = P(AiB) / P(B) = P(Ai)P(B|Ai) / 全概率公式那一大串 14、事件的独立性 P(B|A) = P(B) P(AB) = P(A)P(B) P(B|A) = P(B|A拔) P(B|A拔) = P(B) P(B|A) + P(B拔|A拔) = 1 有拔无拔对独立没有影响 三事件独立 P(AB) = P(A)P(B) P(AC) = P(A)P(C) P(BC) = P(B)P(C) P(ABC) = P(A)P(B)P(C) 以上四个要同时成立，则三事件相互独立 若事件ABC独立，则A与B的和、差、积、逆 与 C或C拔 均独立 15、伯努利概型 伯努利试验：只有两种结果的试验。 n重伯努利试验：试验 独立地 重复n次。 每次试验概率都相等，用p表示。 n次试验中，事件A发生k次的概率：Pn(k) = Cnk(就是组合的大写C和它两个数字，输入法打不出来) * p^k * (1-p)^(n-k) 也叫二项概率公式 随机变量与分布函数 1、随机变量 函数 X = X(e) 为随机变量，记为RV 分类：离散型随机变量、连续型随机变量、非离散非连续型随机变量 2、分布函数 设X是一个随机变量，x为任意一个实数(自变量)，事件{X<=x}的概率是随机变量X的分布函数，记为F(x) 即 F(x) = P{X<=x} 意思是 随机变量X 落在区间(-∞，x] （也叫左方区间）的概率 某点处的概率：P{X=a} = P{X<=a} - P{X<a} = F(a) - F(a-0) F(a-0)表示x从左侧趋近a: limP{X<=x} lim下面是x→a- 区间上的概率： P{X<=a} = F(a) P{X<a} = F(a-0) P{a<X<=b} = P{X<=b} - P{X<=a} = F(b) - F(a) P{a<X<b} = P{X<b} - P{X<=a} = F(b-0) - F(a) P{a<=X<=b} = P{X<=b} - P{X<a} = F(b-0) - F(a-0) 3、分布函数性质 非负性 0 <= F(x) <= 1 规范性 F(+∞) = 1 ， F(-∞) = 0 F(x)为单调不减函数。 由上面区间上的概率可证出。 F(x)为右连续函数。 4、离散型随机变量 X的取值为有限个或无限可列个时，称X为离散型随机变量 分布律（或叫做概率分布）：把X取每个值得概率列成表格 它的分布函数是个分段函数形式，F(x) = P{X<=x} 中的x依次取分布律中的每个值，然后看X在x的左方区间内碰到几个概率的点，把概率相加，这个值 在 0到1之间。 5种常见的离散型分布： 0-1分布（只有两个结果） 二项分布：前面15讲了 泊松分布：X的分布律为 P{X=k} = λ^k*e^(-λ) / k! (k=0,1,2…… λ>0) ，则X符合泊松分布，记为 X~P(λ) 背景：单位时间内交叉路口的人流量分布 超几何分布：X的分布律为 （三个C组合，输入法写不出来），则X符合超几何分布，记为 H(N,M,n)。 视频的框老师也是产品例子 几何分布：X的分布律为 P{X=k} = (1-p)^(k-1)*p (k=0,1,2……), 则X符合几何分布，记为 X~G(p)。 总共做了k次试验，第k次才成功，前面全失败，这就是首次成功的概率，
没成功就一直试验。 5、连续型随机变量 X的分布函数为 F(x) = ∫f(t)dt （∫上面是x，下面是-∞，f(x)>=0），则X为连续型随机变量。f(x)为X的概率密度函数，简称密度函数。 这里F(x)是连续函数 若f(x)在x点连续，则F(x)的导数为f(x)。 即分布函数的导数等于密度函数。 F(x)图像上是定积分那个图像面积。 密度函数f(x)的性质： 非负性：f(x)>=0 （可保证f(x)=F`(x)>=0 → 因为 F(x) 单调不减，所以要规定f(x)>=0） 规范性：∫f(t)dt =1（∫上面是+∞，下面是-∞） 某点处的概率：P{X=a} = P{X<=a} - P{X<a} = F(a) - F(a) = 0 （因为F(x)是连续函数所以这里不是-F(a-0)而是-F(a)） 区间上的概率：可以随意添加等号，因为是连续函数 P{a<X<b} = P{a<X<=b} = P{a<=X<=b} = ∫f(x)dx（∫上面是a，下面是b) 。所以区间上的概率等于定积分，也就是面积。 几个常见的连续型分布： 均匀分布：当X的密度函数f(x)= 分段函数——当 a<x<b时=1/(b-a);其他情况=0。则X服从均匀分布，记为X~U(a,b) 指数分布：当X的密度函数f(x)= 分段函数——当 x>0时=λ*e^(-λx);x<=0时=0。其中λ>0。则X服从指数分布，记为X~e(λ) 这个主要用于寿命分布，比如电池寿命等。 X的分布函数为 F(x)= 分段函数——当 x>0时=1-e^(-λx);x<=0时=0 X具有无记忆性：P{X>t0+T|X>t0}=P{X>T} 老电池已经使用t0小时的情况下，它再使用T小时的概率=新电池能使用T小时的概率。 正态分布：当X的密度函数f(x)= 输入法不好写自己查吧，-∞<x<+∞，则称X服从正态分布，记为X~N(μ,σ^2),其中σ>0 μ决定左右，是位置参数，σ决定高低，是形状参数，σ越小图形越尖。 标准正态：μ=0，σ=1 N(0,1) 标准化：(X-μ)/σ这样X就变成标准正态了。 上α分位点：这一点(μα)右边的面积为α，即P{X>μα}=α，就是概率为α 6、随机变量函数的分布：讲的都是解题方法，有需要看视频 离散型变量函数的分布 连续型随机变量函数的密度函数 多维随机变量及其分布 1、二维随机变量：随机试验E有样本空间Ω，X,Y都是定义在Ω上的随机变量，则称(X,Y)为二维随机变量。（X和Y写成了向量形式，原来括号一直都是向量的表达） 2、联合分布函数：F(x,y) = P{X<=x,Y<=y} 意味着两个事件同时发生的概率 F(x,y)几何意义是 (X,Y)落在点(x,y)的左下方的概率。 性质： 非负性：0 <= F(x,y) <= 1 F(x,y)是单调不减函数 规范性：F(-∞,-∞)=0，F(-∞,y)=0，F(x,-∞)=0，F(+∞,+∞)=1 前三个有空集，空集和谁相交都是空 右连续性：F(x,y)关于x是右连续的，关于y也是右连续的。 3、二维离散型随机变量 当(X,Y)的取值为有限个或可列无限个时，称(X,Y)为二维离散型随机变量 联合分布律：X所有取值放第一列，Y所有取值放第一行，组成表格，表格里内容就是同时取到xi和yi的概率。 P{X=xi,Y=yi} = Pij i=1,2……，j=1,2…… 性质： 非负性：每个概率都>=0 规范性：表格里所有概率加起来等于1 4、二维连续型随机变量 (X,Y)的联合分布函数为 F(x,y) = ∫∫f(u,v)dudv （第一个∫上面是x，下面是-∞，第二个∫上面是y，下面是-∞，f(x,y)>=0），则(X,Y)为二维连续型随机变量。f(x,y)为(X,Y)的联合密度函数。 联合密度函数f(x,y)的性质： 非负性：f(x,y)>=0 规范性：∫∫f(x,y)dxdy = 1 （第一个∫上面是+∞，下面是-∞，第二个∫上面是+∞，下面是-∞) 若f(x,y)在点(x,y)处连续，则 F(x,y)的二阶偏导 = f(x,y) （二阶偏导输入法写不出来，文字代替了） 区域概率：P{(X,Y)∈D} = ∫∫f(u,v)dudv （∫∫下面有个D） （前面一维的是区间上的概率等于定积分，这个是区域上的概率=区域上的二重积分） 2个常见的二维连续型分布： 二维均匀分布：当(X,Y)的密度函数f(x)= 分段函数——当 (x,y)∈D时=1/面积;其他情况=0。则(X,Y)服从二维均匀分布，记为(X,Y)~U(D) 二维正态分布： f(x)= 太长了自己查吧。记为(X,Y)~N(μ1，μ2，σ1^2，σ2^2，ρ) 二维正态分布图形是个钟形，像隆起的山。 ρ的含义：刻画X与Y的相关关系 5、边缘分布 边缘分布函数：在联合分布函数F(x,y)的条件下，只考虑其中一个变量： 只考虑X，则 F_X(x) = P{X<=x} = P{X<=x，Ω} = P{X<=x，Y<+∞} = F(x,+∞) 为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数（F_X的X是下标，这里输入法打不出来）。 同理Y的是 F(+∞,y) 边缘分布律：在联合分布律的基础上，则 P{X=xi} = P{X=xi,Ω} = …… = Pi. 为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律。 比如取表格里x3这行，那概率P{X=x3}=表格里x第三行所有概率的和，记为P3. ，这就是X的边缘分布律。 同理Y的是 P{Y=yj} = Pj. ，就是表格里第j列所有概率相加。 (X,Y)的联合密度函数为f(x,y)，则 f_x(x)=∫f(x,y)dy (∫上面是+∞，下面是-∞) 为(X,Y)关于X的边缘密度函数； f_y(y)=∫f(x,y)dx (∫上面是+∞，下面是-∞) 为(X,Y)关于Y的边缘密度函数； 6、条件分布 条件分布律：离散型(X,Y)的联合分布律P{X=xi,Y=yi}（前面3里的）， 固定Y=yj，当P{Y=yj}不等于0时，称P{X=xi|Y=yi}=P{X=xi,Y=yi}/P{Y=yj}=Pij/Pj为X在Y=yj条件下的条件分布律。 固定X=xi，当P{X=xi}不等于0时，称P{Y=yi|X=xi}=P{X=xi,Y=yi}/P{X=xi}=Pij/Pi为Y在X=xi条件下的条件分布律。 即 条件分布 = 联合分布/边缘分布 条件密度函数： (X,Y)的概率密度为f(x,y)（前面4里的）， 固定Y=y，当f_Y(y)不等于0时，称f_X|Y(x|y)=f(x,y)/f_Y(y) 为X在Y=y条件下的条件密度。 固定X=x，当f_X(x)不等于0时，称f_Y|X(y|x)=f(x,y)/f_X(x) 为Y在X=x条件下的条件密度。 f_X|Y(x|y)=f(x,y)/f_Y(y) 是x的一元函数 规范性：∫f_X|Y(x|y)dx=∫f(x,y)/f_Y(y)dx=1 (两个都是∫上面是+∞，下面是-∞) 7、随机变量的独立性 F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数，F_X(x)，F_Y(y)分别为X与Y的边缘分布函数，若F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)，则随机变量X与Y相互独立。 当(X,Y)为离散型随机变量时，X与Y独立 能互相推出 P{X=xi,Y=yi} = P{X=xi}P{Y=yj} 当(X,Y)为连续型随机变量时，X与Y独立 能互相推出 f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) 8、两个随机变量函数的分布：讲的都是解题方法，有需要看视频 两个离散型随机变量函数的分布 两个连续型随机变量函数的分布 利用卷积公式求 Z=X+Y 的密度 两个变量最值函数的分布 随机变量的数字特征 1、数学期望： 离散型随机变量的数学期望 随机变量X的分布律为 表格中x1,x2……xk对应的概率时p1,p2……pk，则x1*p1+x2*p2+……xk*pk = E(X)为X的数学期望 离散期望=取值乘概率再求和 若Y=g(X)，则E(g(X)) = g(x1)*p1+g(x2)*p2+……g(xk)*pk 为 Y=g(X)的数学期望 若Z=g(X,Y)，则E(g(X,Y)) = g(x1,y1)*p1+g(x2,y2)*p2+……g(xk,yk)*pk 为g(X,Y)的数学期望 连续型随机变量的数学期望 连续期望=取值乘密度再积分 也是有三种数学期望 期望的性质 设C为常数，E(C) = C E(C*X) = C*E(X) E(X+Y) = E(X) + E(Y) 若X与Y独立，则E(X*Y) = E(X)*E(Y) 2、方差 设X为随机变量，方差 D(X) = E[ (X-E(X))^2 ] D(X)表示X与E(X)的偏离程度 D(X)>=0 计算公式：D(X) = E(X^2) - E^2(X) 性质： 设C为常数，D(C) = 0 D(CX) = C^2 * D(X) D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2[E(XY)-E(X)E(Y)] 若X与Y独立，则D(X+Y) = D(X) + D(Y) 若D(X)=0，则P{X=E(X)}=1 3、常见分布的期望与方差 01分布：E(X) = p , D(X) = p(1-p) 二项分布：E(X) = np , D(X) = np(1-p) 泊松分布：E(X) = λ , D(X) = λ 均匀分布：E(X) = (a+b)/2, D(X) = (b-a)^2/12 指数分布：E(X) = 1/λ , D(X) = 1/λ^2 正态分布：E(X) = μ , D(X) = σ^2