1
\(u, v \in R^n\)，矩阵\(A=I+uv^T\)，投影算子\(P=I-uu^T/u^Tu\)，SM公式\(M=A-uv^T,M^{-1}=A^{-1}+A^{-1}uv^TA^{-1}/(1-v^TA^{-1}u)\)
1、证明：矩阵A的逆是\(A^{-1}=I+auv^T\)，并求出a关于u、v的表达式；
2、证明：\(<pv,u>=0\)；
3、请说明SM公式中分子如何结合，计算复杂度\(O(n)\)，\(u^Tv\)的计算复杂度为\(O(n)\)，说明为什么分母是个数；
4、验算\(MM^{-1}=I\)。
解
1、
根据题意，要证明矩阵A的逆是\(A^{-1}=I+auv^T\)，我们有
显然有\(AA^{-1}=I\)，所以
即
2、
我们有
3、
SM 公式为 \(M^{-1} = A^{-1} + \frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1 - v^TA^{-1}u}\)。我们分析其计算复杂度：
- \(u^Tv\) 的计算复杂度是 \(O(n)\)，因为它是两个长度为 \(n\) 的向量的点积。
- 分母 \(1 - v^TA^{-1}u\) 是个数，因为 \(v^TA^{-1}u\) 是两个向量的点积。
- 分子 \(A^{-1}uv^TA^{-1}\) 的计算复杂度为 \(O(n)\)，因为它涉及两次向量-矩阵乘法和一次向量-向量外积。
4、
2
\(P_n(x)=\frac{2n-1}{n}xP_{n-1}(x) - \frac{n-1}{n}P_{n-2}(x), p_0(x)=1, p_1(x)=x\)
1、请写出\(P_2,P_3,P_4\)表达式；
2、证明\(\int_{-1}^{1}P_i(x)*P_j(x)dx=0\)，取\(i=2,j=4\)；
3、编程写一个递归函数实现\(P_n(x)\)；
4、内积\(<u,v>\)对应到两个函数的内积为\(\int f(x)g(x)dx\)，若对\(P_n(x)\)进行归一化处理得到一组\(q_i(x), \int_{-1}^{1}q_i(x) \cdot q_j(x) = \begin{cases} 1,i=j \\ 0, 1 \neq j \end{cases}\)，证明\(f(\cdot) = \sum_{i=0}^{n-1} q_j(\cdot) \int_{-1}^{1} q_j(x)f(x)dx\)
解
1、
2、
正交多项式之间的正交性质可以表示为
因为\(i = 2 并且j = 4\)，显然成立。
3、
在Python中，我们可以用递归函数实现 (\(P_n(x)\)) 的计算：
def legendre_polynomial(n, x):
if n == 0:
return 1
elif n == 1:
return x
else:
return ((2*n - 1) * x * legendre_polynomial(n - 1, x) - (n - 1) * legendre_polynomial(n - 2, x)) / n
4、
我们对\(P_n(x)\)进行归一化处理得到一组\(q_i(x)\)，满足\(\int_{-1}^{1}q_i(x)\cdot q_j(x)\)条件给定的值，然后将\(f(x)\)表示\(q_i(x)\)的线性组合，即\(f(x)= \sum_{i=0}^{n-1} c_iq_i(x)\)，其中\(c_i = \int_{-1}^{1}q_i(x)f(x)dx\)
现在对两边进行积分：
所以