归不到类，说实话不知道从哪里开始。

积性函数

没啥好说。如果一个定义在 \(N+\) 集合上的函数 \(f\) 满足对于任意一对互质的正整数 \(p,q\) 都有 \(f(pq)=f(p)f(q)\)，则称 \(f\) 为积性函数。若是对于任意正整数 \(p,q\) 都有 \(f(pq)=f(p)f(q)\) 则称 \(f\) 为完全积性函数。

性质：若 \(f,g\) 是积性函数，则 \(h=f*g\) 也是积性函数。

狄利克雷卷积&生成函数

定义

定义为在数论函数之间的一种二元运算，是数论函数的重要运算，数论函数的许多性质都是通过这个运算挖掘出来的。对于两个数论函数 \(f(x),g(x)\)，他们的狄利克雷卷积得到的结果 \(h(x)\) 定义为：\(h(x)=\sum\limits_{d|x}f(d)g(\frac{x}{d})=\sum\limits_{ab=x}f(a)g(b)\)，简记为 \(h=f*g\)

同时我们有狄利克雷生成函数（DGF）。对于一个无穷序列 \(f_{\small{1}},f_{\small{2}},\ldots\)，定义其狄利克雷生成函数为 \(\tilde{F}(x)=\sum\limits_{i\ge\small{1}}\dfrac{f_i}{i^x}\)

对于两个序列 \(f,g\)，其狄利克雷生成函数之积，对应的是两者的狄利克雷卷积序列的狄利克雷生成函数：\(F(x)G(x)=\sum\limits_i\sum\limits_j\dfrac{f_ig_i}{(ij)^x}=\sum\limits_i\frac{\small{1}}{i^x}\sum\limits_{d|i}f_dg_{\frac{1}{d}}\)

性质

满足一般的交换律、结合律、分配律，并且 \(f=g\) 的充要条件是 \(f*h=g*h\)，其中数论函数 \(h(1)\neq \small{0}\)

单位元：令单位函数 \(\varepsilon\) 是狄利克雷卷积运算中的单位元，及对于任何数论函数 \(f\) 都有 \(f*\varepsilon=f\)

逆元：对于任何一个满足 \(f(x)\neq\small{0}\) 的数论函数，如果有 \(g(x)\) 满足 \(f*g=\varepsilon\)，则称 \(g(x)\) 是 \(f(x)\) 的逆元，逆元是唯一的。\(g(x)=\dfrac{\varepsilon(x)-\sum_{d|x,d\neq\small{1}}f(d)g(\frac{x}{d})}{f(\small{1})}\)

两个结论：两个积性函数的 Dirichlet 卷积也是积性函数，一个积性函数的逆元也是积性函数证明不想证。