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向量
- 空间中的箭头 \(\vec {v}\)
- 可以自由移动/一般以原点为起点
- 有序的数字列表 \(\begin{bmatrix}a \\ \vdots \\ b\end{bmatrix}\)
- 相加相乘有意义的东西
线性相关：某个向量可以表示为其他向量的线性组合
线性无关：向量落在其他向量张成的空间外
基向量
组成一个空间的几个线性无关的向量
空间中其他向量可由基向量线性组合而成。
变换
输入1个向量，输出1个向量的函数
线性变换
- 直线变换后还是直线
- 原点保持固定
记录基向量变换后的位置可以计算出其他向量变换后的位置。
\(\hat i=(x_1,y_1)\)，\(\hat j=(x_2,y_2)\)，则其他向量为 \(x\hat i+y\hat j\)。
基变换
变换基向量，在坐标系之间进行转化
形如 \(A^{-1}BA\) 的变换代表在另一个坐标系中进行的变换，类似 (float)(*((long*)&a)<<2)。
特征向量
- 变换后方向不变
即满足 \(A\vec{v}=\lambda\vec{v}\)，其中 \(A\) 为变换矩阵，\(\vec{v}\) 为特征向量，\(\lambda\) 为其特征值。
例：
\(\begin{bmatrix}3 & 1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 \\ 0\end{bmatrix}\)
向量 \(\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\) 方向不变，长度拉伸为原来的3倍，同理 \(\begin{bmatrix}-1 \\ 1\end{bmatrix}\) 不变，拉伸为2倍。
其余向量均在变换后离开直线。
空间变换后方向不变的向量称为“特征向量”，其缩放值称为“特征值”。
在三维空间中特征值为1的特征向量为旋转轴。
基向量
向量 \( \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} \) 可以表示为 \(3\hat i+2\hat j\)，其中 \(\hat i\hat j\) 为基向量。
求解
\(A\vec v=\lambda\vec v\iff A\vec v=(\lambda I)\vec v\)，其中 \(I=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \ddots & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)（左右形式统一）
\((A-\lambda I)\vec v=\vec 0\)
\(\det(A-\lambda I)=0\)
此时 \(\vec v\) 是 \(A\) 的一个特征向量。
\(\det\left(\begin{bmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda \end{bmatrix}\right)=(3-\lambda)(2-\lambda)=0\)
即 \(\lambda=2\) 或 \(\lambda=3\)，这就是所有的特征值。
将 \(\lambda=2\) 代入，\(\begin{bmatrix} 3-2 & 1 \\ 0 & 2-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\) 的解就是该特征值下的特征向量。
矩阵
矩阵与线性变换
\(\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}\) 可以看作基向量 \(\hat i\hat j\) 分别落在
\(\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\)，\(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) 时的变换，变换后向量 \(\vec v=\begin{bmatrix} 3x+1y \\ 4x+1y \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix}+y \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ax+by \\ cx+dy \end{bmatrix}\)，即向量变换后的结果
两个（用于变换的）矩阵相乘的结果等价于单独乘
即 \((AB)\cdot\vec v=A(B\cdot\vec v)\)
注意：此处要从右至左
\(B=
\begin{bmatrix}
x_1 & x_2 \\
y_1 & y_2
\end{bmatrix}
\)，则变换后 \(\hat i=
\begin{bmatrix}
x_1 \\ y_1
\end{bmatrix}
\)
经过再一次变换，\(\hat i=A\cdot
\begin{bmatrix}
x_1 \\ y_1
\end{bmatrix}
\)，同理可求出 \(\hat j\)。
\(\hat i\hat j\) 即为结果的两列。
行列式
线性变换改变图形面积/体积的比例
若空间方向改变则行列式为负.
行列式为0说明变换后降维
\(\det\left( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \right)=ad-bc\)
逆矩阵
与某个矩阵相乘得单位矩阵， 即对角为1其他为0的矩阵。
可用于抵消矩阵的变换
矩阵与方程组
形如 \(\begin{cases}
3x+1y+4z=0 \\
2x+3y+33z=30 \\
0x+4y+1z=2 \end{cases}\)
这样的方程组可以用矩阵表示：\(
\begin{bmatrix}
3 & 2 & 0 \\
1 & 3 & 4 \\
4 & 33 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x \\ y \\ z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 \\ 30 \\ 2
\end{bmatrix}
\)，即 \(A\vec{\mathbf x}=\vec{\mathbf v}\)。
此时 \(\vec{\mathbf x}=A^{-1}\vec{\mathbf v}\)，其中 \(A^{-1}\) 是逆矩阵。
行列式为0时不存在逆矩阵，但解仍然可能存在。
秩
- 变换后空间的维度。
- 列空间的维数。
满秩
秩等于矩阵的列数时为满秩。
列空间
- 所有变换后可能输出的向量构成的集合。
- 矩阵的列张成的空间。
零空间
变换后为零向量的向量集合。
零空间也被称为核。
非方阵
非方阵矩阵代表不同维度间的变换。
\(\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \\ 5 & 9 \end{bmatrix}\) 代表把二维向量映射到三维空间
，其中基向量分别为 \(\hat i=\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}\)，\(\hat j=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 9 \end{bmatrix}\)。
举例用的这个矩阵是满秩的。
点积
向量A在B方向上的投影长度与B的乘积
向量A行列互换后与B的乘积
叉积
长度为两向量围成的平行四边形面积，正负受方向影响。\(\hat i\times\hat j=1\)，\(\hat j\times\hat i=-1\)。
也可以把两个向量放在一个矩阵里求行列式。
二维向量叉积为数，三维向量有方向且
方向垂直于两向量组成的平面，遵循右手定则。
\( \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{bmatrix}=\det\left( \begin{bmatrix} \hat i & v_1 & w_1 \\ \hat j & v_2 & w_2 \\ \hat k & v_3 & w_3 \end{bmatrix} \right)=\hat i\det\left( \begin{bmatrix} v_2 & w_2 \\ v_3 & w_3 \end{bmatrix} \right)+\hat j\det\left( \begin{bmatrix} v_3 & w_3 \\ v_1 & w_1 \end{bmatrix} \right)+\hat k\det\left( \begin{bmatrix} v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2 \end{bmatrix} \right) \)
另外一种理解方式：
函数
多项式函数可以看作无穷维的向量，其中基为 \(1\)，\(x^2\)，\(x^3\dots\)
\(2x^2+1\rightarrow \begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ \vdots
\end{bmatrix}\)