水个博客。。。好久没上了xxx
下面是正文
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微积分学习过程中的乱七八糟的数学手册
1.致密性定理：任何有界数列必定有收敛的子列。
证明思路：由于对于一个任意给定的有界数列 \(\{a_n\}\) ，有唯一数列 \(\{b_n\}=\{-a_n\}\) 与之对应，则很容易想到只需证明存在单增（或单减，因为它们地位相同）子列，再由确界原理即证。而：1.由于无穷序列的可分部操作性，其单增子列存在等价于 \(\{a_n\}(n\geq N)\) 的单增子列存在；2.由于良序定理（这里承认选择公理），数列 \(\{a_n\}(n\geq N)\) 的有序排列 \(\{b_n\}\) （称此排序法则为 \(f\) ）必然包含于数列 \(\{a_n\}\) 的 \(f\) 有序排列 \(\{c_n\}\) 中（事实上只是挖去了 \(N-1\) 个数），且再由良序定理，对 \(\{d_n\}=\{d_i|d_i\in\{c_n\},d_i>\max\{\{c_n\}\backslash\{b_n\}\}\}\) 施以 法则 \(f^{-1}\) 得到的 \(\{e_n\}\) 亦为原数列 \(\{a_n\}\) 的子列且亦可找到某对应的 \(N'\) 并再次递归进行 \(f\) 操作。
2.介值定理：对任意连续函数 \(f\) 和闭区间 \([a,b]\)，若 \(f(a)\not=f(b)\) ，则有 \([\max\{f(a),f(b)\},\min\{f(a),f(b)\}]\sub \{f([a,b])\}\) 成立。
证明思路：（为叙述方便令 \(f(a)<f(b)\) ）命题等价于对任意 \(f(a)<\mu<f(b)\) 存在某 \(\lambda\) （当然可能不止一个）满足 \(f(\lambda)=\mu\) 。这在几何意义上是显然的（因为你不得不从 \(f(a)\) 爬升到 \(f(b)\) 而避开中间的某个值，因为 \(f\) 为连续函数），而这种“显然”的原因其实是两端点确定一条线段。由此，取辅助函数 \(g(x)=f(x)-\mu\) ，此时 \(g(a)<0<g(b)\iff g(a)\cdot g(b)<0\) ，而由极限的局部保号性即证。
推论：事实上介值定理中的 \(f\) 常写作 \(F\) 的导函数形式，此时此定理成为导数介值定理，即达布定理。
注释：此定理的证明过程其实即是零点存在性定理的证明过程。
3.指数型复合函数的一般处理：\(\lim _ { x \to \Delta } f(x) ^ { g(x) } = \lim _ { x \to \Delta } e ^ { \ln f(x) \cdot g(x) }= e ^ { \lim _ { x \to \Delta } g(x) \cdot \ln f(x) } = e ^ { \lim _ { x \to \Delta } \frac { \ln f(x) } { \frac1{g(x)} } } = e ^ { \lim _{ x \to \Delta } \frac { f'(x) \cdot g ^ 2 (x) } { g'(x) \cdot f(x) } }\) 。
要求：1. \(\lim _ { x \to \Delta}f(x) = e ^ { \lim _ { x \to \Delta } \ln f(x) }\) 2. \(g(x) \cdot \ln f(x)\) 为 \(\infin \cdot 0\) 型未定式。2. \(\Delta\) 代表六种常见极限自变量趋向情况。
注释：要求2是为了使平凡极限存在且允许使用洛必达以简化运算。
4.在 \(x_0\) 处使用 \(Taylor\) \(series\) 证明（严格）不等式时出现交错级数的余项的处理。
原则1：若 \(x>x_0\) ， \(P((x-x_0)^n)\) 为 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的 \(n\) 阶泰勒级数且 \(P((x-x_0)^n)\) 中 \((x-x_0)^n\) 的系数为正，则有 \(f(x)<P((x-x_0)^n)+o((x-x_0)^n)\) ；若 \((x-x_0)^n\) 系数为负则不等号反号。
原理： \(Taylor\) \(series\) 用多项式函数近似拟合原函数且存在余项 \(R_n(x)\) (也称为修正函数)，而交错级数的存在一方面使得我们难以界定 \(R_n(x)\) 的正负性，另一方面也说明了 \(f(x)\) 的 \(Taylor\) \(series\) 将在两侧振荡趋向实际的函数 \(f(x)\) 。
原则2：若 \(x<x_0\) ， \(P((x-x_0)^n)\) 为 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的 \(n\) 阶泰勒级数且 \(P((x-x_0)^n)\) 中 \((x-x_0)^n\) 的系数为正，则：
1.若 \(n\) 为奇数， \(f(x)>P((x-x_0)^n)+o((x-x_0)^n)\) ；
2.若 \(n\) 为偶数， \(f(x)<P((x-x_0)^n)+o((x-x_0)^n)\) 。
当 \((x-x_0)^n\) 系数为负则不等号反号。
原理：同上。
注释：当 \(f(x)\) 关于点 \((x_0,f(x_0))\) 中心对称时可仅考虑一侧，特别的，若 \(x_0=0\) 则 \(g(x)=f(x)-f(0)\) 为奇函数，这表明其不等号方向仅与 \(x\) 正负性及交错级数正负号顺序有关。
5.连续函数奇偶唯一分解定理：对任意连续函数 \(f(x)\) 存在唯一分解 \(g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}2,h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}2\) 使得 \(f(x)=g(x)+h(x)\) 且 \(g(x)\) 为奇函数， \(h(x)\) 为偶函数。
证明思路：存在性不难验证，唯一性也容易通过反证法得到。
用途：相当于分部积分法，可在积分时进行简化操作。
6.\(Jensen\) 不等式：若 \(f(x)\) 为 \(D\) 上的下凸函数（由于各版本教材对凹凸性的叙述紊乱，下以二阶导为负作上凸，二阶导为正作下凸），则对任意的有限数列 \(\{a_n\}\sub D\) 及 \(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1\) 有 \(f(\sum_{i=1}^n\lambda_ia_i)\leq\sum_{i=1}^n\lambda_if(a_i)\) ，若为上凸函数则不等号反号。
证明思路：对函数凹凸性定义施以数学归纳法即证。
用途：可用以证明一般（加权）情况的均值不等式，特别的，取 \(\lambda_i\equiv \frac1n\) 即为狭义均值不等式。
注释：若为严格上（下）凸函数则严格不等式成立。
*7.\(Weierstrass\) 聚点定理：实轴上的任一有界无限点集至少存在一个聚点。
证明思路：取点集中一列两两不同的无限点列映射（这显然是一一映射）于数列，由致密性定理（见1.）可推知其存在一子列收敛于某 \(x_0\) ，则由柯西判敛准则和聚点定义易知 \(x_0\) 即为此点集的一个聚点。
注释：容易看出聚点定理其实是致密性定理的一维形式。
*8.\(Heine-Borel\) 有限开覆盖定理：对某闭区间 \(D\) ，可从其任意开覆盖中取出有限个区间 \(D_i\) 成为 \(D\) 的开覆盖。
证明思路：显而易见反证法，且同样适用无穷序列的可分部操作性。当然由于需要用到我不想写的区间套定理，此处不予证明。
*9.实数完备性六基本定理的等价性和互相转化。
10.实数域上的多项式标准因式分解：任意次数不为零的实系数多项式均可唯一写作某些一次实系数因式及某些二次不可约因式的乘积。
注释：关联代数学基本定理，若将实数域拓展到复数域则结论改写为唯一写作某些一次复系数因式乘积；称某多项式可约即其可被分解为两个更低次数的实系数多项式。
11.对微分算子 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\) 的理解。
事实上微分算子属于一种函数法则，它的输入为某个给定函数 \(F\) ，输出为唯一对应的求微分运算后的 \(f\) 。（类比于求正弦记号 \(\sin\) ，对于任意输入的给定的数 \(x\) ，经过正弦操作后有唯一的 \(\sin x\) 与之对应，只是对三角函数参数为实数，返回值也是实数，而对微分算子来说的参数是一个函数，结果也将返回一个函数。）
\(\mathrm dA\) 的意义是 \(A\) 的变化量（其中 \(A\) 只是一个记号，它可以是 \(x\) ， \(y\) ， \(f(x)\) 或任意其他的函数。同时， \(A\) 应当随着某基本量的改变而连续改变，我们只讨论当基本量变化很小一段距离的时候 \(A\) 的变化量，很显然它将是一个无穷小量），所以它应具有初值。
考虑一个函数关系 \(f:y=f(x)\) 。很显然 \(\mathrm dy\) 并不能独立存在，一方面因为它根据 \(x\) 与函数关系 \(f\) 而定义；另一方面也因为它的值，即 \(y-y_0\) 根据 \(y_0\) 的不同而可能会产生变化（比如对于反比例函数来说更接近原点的同样区间长度的端点值差距通常会更大），而 \(y_0\) 又依赖于 \(x_0\) 即 \(x\) 的初值，所以只需知道：1.函数关系 \(f\) 。2.自变量初值 \(x_0\)。即可确定某个 \(\mathrm dy\) 。类似地可确定 \(\mathrm dx\) ，只需作一个一一映射 \(g:x=x\) 考虑即可。（也可称 \(g\) 中的某个 \(x\) 为基本量）
此时我们拥有了 \(\mathrm dx\) 和 \(\mathrm dy\) ，而很明显 \(\mathrm dy\) 与 \(\mathrm dx\) 间具有某种函数关系 \(f'\) ，并且通过导数的定义应知道它们的关系是线性的（因为导数的定义即是此处的 \(\lim\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) ），则可以记作 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=y'_x\) （此处的 \(y'_x\) 同样只依赖 \(x\) ），移项得 \(\mathrm dy=y'_x\mathrm dx\) 。那么这个式子即是函数关系 \(f'\) 的解析式。从推导过程中不难看出函数关系 \(f\) 与函数关系 \(f'\) 相关，若称它们间的函数关系为 \(h'\) ，则不难看出此关系 \(h'\) 即是微分。
对符号的优化：既然函数 \(g:x=x\) 是一个固定的函数关系，那么 \(h':\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) 中仅有 \(y\) 是不确定的（因为并不知道 \(f\) ）。此时把 \(y\) 拆到式子外，得到的 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\) 即是微分算子。
12.隐式方程所确定的二元关系的二阶导数。（记此隐式方程为 \(G(x,y)=0\) ）
全微分法：由 \({\mathrm d}F=\frac{\partial F}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial F}{\partial y}\mathrm dy\) 代入 \(F=-\frac{G'_x}{G'_y}\) 并同除 \(\mathrm dx\) 即有 \(\frac{\mathrm d(-\frac{G'_x}{G'_y})}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\frac{\partial (-\frac{G'_x}{G'_y})}{\partial x}+\frac{\partial (-\frac{G'_x}{G'_y})}{\partial y}\cdot\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) ，整理得 \(\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\frac{\partial (-\frac{G'_x}{G'_y})}{\partial x}+\frac{\partial (-\frac{G'_x}{G'_y})}{\partial y}\cdot\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac{G''_{xx}G'_y-G'_xG''_{yx}}{(G'_y)^2}-\frac{G''_{xy}G'_y-G'_xG''_{yy}}{(G'_y)^2}\cdot(-\frac{G'_x}{G'_y})=\frac{G''_{xy}G'_yG'_x-G''_{yy}(G'_x)^2-G''_{xx}(G'_y)^2+G'_xG''_{yx}G'_y}{(G'_y)^3}\) ，再由于 \(G\) 具有连续偏导数，\(G''_{xy}=G''_{yx}\) ，即有 \(\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=-\frac{G''_{yy}(G'_x)^2-2G''_{xy}G'_yG'_x+G''_{xx}(G'_y)^2}{(G'_y)^3}\) 。
13.平面曲线方程的密切圆半径（即曲率半径公式的推导过程）。
约定：记此曲线方程为 \(F\) ，其确定的隐函数记作 \(y=f(x)\)。
\(Solve\ by\ LJH\) （折腾我一下午）：根据 \(Cauchy\) 对密切圆的等价定义求解。对某点 \(P(x_0,y_0)\) ，我们希望找到两个无限接近 \(P\) 的点 \(P_1(x_1,y_1)\) 与 \(P_2(x_2,y_2)\) 求出法线方程联立得到密切圆圆心的坐标。
对 \(P_1\) ：切线方程为 \(l_1:y=-\frac1{f'(x_1)}(x-x_1)+f(x_1)\) 。
对 \(P_2\) ：切线方程为 \(l_2:y=-\frac1{f'(x_2)}(x-x_2)+f(x_2)\) 。
以 \(x\) 为主元联立得： \(x=\frac{f'(x_1)\cdot f'(x_2)\cdot (f(x_2)-f(x_1))+f'(x_1)\cdot x_2-f'(x_2)\cdot x_1}{f'(x_1)-f'(x_2)}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{f'(x_1)-f'(x_2)}\cdot f'(x_1)\cdot f'(x_2)+\frac{f'(x_1)\cdot x_2-f'(x_2)\cdot x_1}{f'(x_1)-f'(x_2)}\)
\(=-\frac{f'(\xi_1)}{f''(\xi_1)}\cdot f'(x_1)\cdot f'(x_2)+\frac{f'(x_1)\cdot x_2-f'(x_2)\cdot x_2}{f'(x_1)-f'(x_2)}+\frac{f'(x_2)\cdot x_2-f'(x_1)\cdot x_1}{f'(x_1)-f'(x_2)}+\frac{f'(x_1)\cdot x_1-f'(x_2)\cdot x_1}{f'(x_1)-f'(x_2)}\) （使用 \(Cauchy\) 中值定理，并作拆项处理）
\(=-\frac{f'(\xi_1)}{f''(\xi_1)}\cdot f'(x_1)\cdot f'(x_2)+x_2\cdot f'(x_1)\cdot f'(x_2)+\frac{f'(x_2)\cdot x_2-f'(x_1)\cdot x_1}{f'(x_1)-f'(x_2)}+x_1\)
\(=-\frac{f'(\xi_1)}{f''(\xi_1)}\cdot f'(x_1)\cdot f'(x_2)+x_1+x_2-\frac{f''(\xi_2)\cdot\xi_2+f'(\xi_2)}{f''(\xi_2)}\) （同样使用 \(Cauchy\) 中值定理）
\(=-\frac{f'(\xi_1)}{f''(\xi_1)}\cdot f'(x_1)\cdot f'(x_2)+x_1+x_2-\xi_2-\frac{f'(\xi_2)}{f''(\xi_2)}\)
在 \(\lim_{P_1,P_2\to P}\) 的情形下 \(x=-\frac{(f'(x_0))^3}{f''(x_0)}+x_0+x_0-x_0-\frac{f'(x_0)}{f''(x_0)}=-\frac{f'(x_0)\cdot((f'(x_0))^2+1)}{f''(x_0)}+x_0\) 。放着先不动。
同样的，以 \(y\) 为主元联立得 \(y=\frac{f'(x_1)\cdot f(x_1)+x_1-f'(x_2)\cdot f(x_2)-x_2}{f'(x_1)-f'(x_2)}=\frac{f'(x_1)\cdot f(x_1)-f'(x_2)\cdot f(x_2)}{f'(x_1)-f'(x_2)}+\frac{x_1-x_2}{f'(x_1)-f'(x_2)}\)
\(=\frac1{f''(\xi_3)}+\frac{f''(\xi_4)\cdot f(\xi_4)+(f'(\xi_4))^2}{f''(\xi_4)}=\frac1{f''(\xi_3)}+\frac{(f'(\xi_4))^2}{f''(\xi_4)}+f(\xi_4)\) （继续 \(Cauchy\) 中值）
在 \(\lim_{P_1,P_2\to P}\) 的情形下 \(y=\frac1{f''(x_0)}+\frac{(f'(x_0))^2}{f''(x_0)}+f(x_0)\) 。
此时我们已经求出了圆心 \(C\) 的坐标 \((x,y)\) ，则 \(r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=\sqrt{(\frac{f'(x_0)\cdot((f'(x_0))^2+1)}{f''(x_0)})^2+(\frac{(f'(x_0))^2}{f''(x_0)})^2}\)
稍做处理有 \(r=|\frac{(1+(f'(x_0))^2)^\frac32}{f''(x_0)}|\) ，化作一般式即是 \(r=|\frac{(1+(f'(x))^2)^\frac32}{f''(x)}|\) ，此即曲率半径函数。
注记：再施以隐函数导数定理即有任意连续平面直角坐标系曲线方程的曲率方程，对联立式变换主元主要是为了避免取极限时的操作混乱。
\(Solve\ Ex\) （这个真的很厉害）：我们试图用圆（此处记作 \(G:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) ，其确定的隐函数记作 \(y=g(x)\) ）来拟合某个方程（若是用直线拟合即为切线，用多项式拟合即为 \(Taylor\) ），则类比其他拟合方式且再结合：1.圆所确定的隐函数仅存在二阶导；2.圆的方程仅有三个参数。这二基本事实，在曲线上某点只需使：1. $$f^{(i)}(x)\equiv g^{(i)}(x)$$ \((i=0,1,2)\) ；2. \(g^{(i)}(x)\) \((i=0,1,2)\) 满足 \(i\) 阶微分方程。即可确定唯一的三元组 \((a,b,r)\) 作为其在此处的密切圆拟合参量，事实上 \((a,b)\) 即为密切圆圆心， \(r\) 即为曲率半径。
对 \(g(x)\) ： \((x-a)^2+(g(x)-b)^2=r^2\) 。
对 \(g'(x)\) ： \(x-a+(g(x)-b)g'(x)=0\) 。
对 \(g''(x)\) ： \(1+[g'(x)]^2+g''(x)(g(x)-b)=0\) 。
联立此三式解得 \(r=\frac{(1+[g'(x)]^2)^{\frac32}}{g''(x)}\) ， \((a,b)=(x-\frac{1+[g'(x)]^2}{g''(x)}\cdot g'(x),g(x)+\frac{1+[g'(x)]^2}{g''(x)})\) ，再由于拟合的基本要求 \(f^{(i)}(x)\equiv g^{(i)}(x)\) ，即知替换 \(g\) 为 \(f\) 后的结果 \(r=\frac{(1+[f'(x)]^2)^{\frac32}}{f''(x)}\) ，\((a,b)=(x-\frac{1+[f'(x)]^2}{f''(x)}\cdot f'(x),f(x)+\frac{1+[f'(x)]^2}{f''(x)})\) 即为所求的曲率半径和圆心坐标。
（推导思路来源：知乎用户：Big Dream）