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【专题一】三角函数，平面向量与复数

发布时间 2023-08-11 22:32:32作者: Starrykiller

【专题一】三角函数，平面向量与复数

这是个人【专题式学习】的第一部分——三角函数，平面向量与复数。

之所以把这三个放在一起，是因为它们联系真的很紧密。（）

三角函数

定义

考虑一个平面直角坐标系中的点 \(P(x,y)\) （\(P\) 不与原点重合），角 \(\alpha\) 的始边为 \(x\) 轴正半轴，终边为射线 \(OP\)。
不妨记 \(\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}\)，
我们定义

  • 正弦 \(\displaystyle\sin \alpha:=\frac{y}{r}\)

  • 余弦 \(\displaystyle\cos \alpha:=\frac{x}{r}\)

  • 正切 \(\displaystyle\cos \alpha:=\frac{y}{x}\) （\(\displaystyle x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）

  • 余切 \(\displaystyle\cot \alpha:=\frac{x}{y}\) （\(\displaystyle x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）

  • 正割 \(\displaystyle\sec \alpha:=\frac{r}{x}\) （\(\displaystyle x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）

  • 余割 \(\displaystyle\csc \alpha:=\frac{r}{y}\) （\(\displaystyle x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）

不妨在单位圆 \(x^2+y^2=1\) 上取点 \(P\)，则此时 \(r=1\)，三角函数简化为

  • 正弦 \(\displaystyle\sin \alpha:=y\)

  • 余弦 \(\displaystyle\cos \alpha:=x\)

  • 正切 \(\displaystyle\cos \alpha:=\frac{y}{x}\) （\(\displaystyle x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）

  • 余切 \(\displaystyle\cot \alpha:=\frac{x}{y}\) （\(\displaystyle x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）

  • 正割 \(\displaystyle\sec \alpha:=\frac{1}{x}\) （\(\displaystyle x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）

  • 余割 \(\displaystyle\csc \alpha:=\frac{1}{y}\) （\(\displaystyle x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}\)）

显然（在实数范围内考虑时）

\(\sin\alpha, \cos\alpha\in\left[-1,1\right]\)，

\(\tan\alpha, \cot\alpha\in\mathbb{R}\)，

\(\sec\alpha, \csc\alpha\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,+\infty\right)\)

以下的自变量取值默认为让三角函数有意义的值。

三角函数线

三角函数的基本关系

乘积为 \(1\)

\[\boxed{\sin x\csc x=1}\tag{1.1} \]

\[\boxed{\cos x\sec x=1}\tag{1.2} \]

\[\boxed{\tan x\cot x=1}\tag{1.3} \]

平方之和

\[\boxed{\sin^2x+\cos^2x=1}\tag{1.4} \]

\[\boxed{1+\tan^2x=\sec^2x}\tag{1.5} \]

\[\boxed{\cot^2x+1=\csc^2x}\tag{1.6} \]

比值关系

\[\boxed{\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}\tag{1.7} \]

\[\boxed{\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}}\tag{1.8} \]

\[\boxed{\sec x=\frac{1}{\cos x}}\tag{1.9} \]

\[\boxed{\csc x=\frac{1}{\sin x}}\tag{1.10} \]

（1.1）~（1.10）式可由定义直接得到。

诱导公式

这里就只列出 \(\sin x, \cos x, \tan x\) 的诱导公式啦

\(2k\pi+x\) 型（周期性）

\[\boxed{\sin{(2k\pi+x)}=\sin{x}} \tag{1.11} \]

\[\boxed{\cos{(2k\pi+x)}=\cos{x}} \tag{1.12} \]

注意这里我没有写出 \(\tan\)，是因为 \(\tan\) 的最小正周期实际上是 \(\pi\)。

\(\pi+x\) 型（关于原点对称）

\[\boxed{\sin{(\pi+x)}=-\sin x}\tag{1.13} \]

\[\boxed{\cos{(\pi+x)}=-\cos x}\tag{1.14} \]

\[\boxed{\tan{(\pi+x)}=\tan x}\tag{1.15} \]

\(\pi-x\) 型（关于 \(y\) 轴对称）

\[\boxed{\sin{(\pi-x)}=\sin x}\tag{1.16} \]

\[\boxed{\cos{(\pi-x)}=-\cos x}\tag{1.17} \]

\[\boxed{\tan{(\pi-x)}=-\tan x}\tag{1.18} \]

\(\displaystyle\frac{\pi}{2}+x\) 型（三直角模型）

\[\boxed{\sin{(\frac{\pi}{2}+x)}=\cos x}\tag{1.19} \]

\[\boxed{\cos{(\frac{\pi}{2}+x)}=-\sin x}\tag{1.20} \]

\[\boxed{\tan{(\frac{\pi}{2}+x)}=-\frac{1}{\tan x}}\tag{1.21} \]

\(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\) （关于直线 \(y=x\) 对称）

\[\boxed{\sin{(\frac{\pi}{2}-x)}=\cos x}\tag{1.19} \]

\[\boxed{\cos{(\frac{\pi}{2}-x)}=\sin x}\tag{1.20} \]

\[\boxed{\tan{(\frac{\pi}{2}-x)}=\frac{1}{\tan x}}\tag{1.21} \]