博弈论之SG函数学习笔记-526互联

在许多地方曾经行过这样一个小游戏，摆出三堆硬币。分别包含3枚、5枚、7枚。两人轮流行动每次可以任选一堆，从中取走任意多枚硬币，可把一堆取完，但不能不取。取走最后一枚硬币者获得胜利。

这类游戏可以推广为更加一般的形式:

给定 \(n\) 堆物品，第 \(i\) 堆物品有 \(A_i\) 个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略，问先手能否必胜。

我们把这种游戏称为 NIM 博弈。把游戏过程中面临的状态称为局面。整局游戏第一个行动的称为先手，第二个行动的称为后手。若在某一局面下无论采取何种行动，都会输掉游戏,则称该局面必败。所谓采取最优策略是指，若在某一局面下存在某种行动，使得行动后对手面临必败局面，则优先采取该行动。同时，这样的局面被称为必胜。我们讨论的博弈问题一般都只考虑理想情况，即两人均无失误，都采取最优策略行动时游戏的结果。NIM 博弈不存在平局，只有 先手必胜 和 先手必败 两种情况。

定理

NIM博弈先手必胜，当且仅当 \(A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n \neq 0\)。

这里，\(\oplus\) 表示异或符号。

证明:

所有物品都被取光是一个必败局面(对手取走最后一件物品，已经获得胜利),此时显然有 \(A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n = 0\)。

对于任意一个局面，如果 \(A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n = x \neq 0\)，设 \(x\) 的二进制表示最高位的 \(1\) 在第 \(k\) 位,那么至少存在一堆石子 \(A_i\)，它的第 \(k\) 位是 \(1\)。显然 \(A_i \oplus x \lt A_i\)，我们就从 \(A_i\) 中取走若干石子，使其变为 \(A_i \oplus x\)，就得到了一个各堆石子数异或起来等于 \(0\) 的局面。

对于任意一个局面，如果 \(A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n = 0\)，那么无论如何取石子,到的局面下各堆石子异或起来都不等于 \(0\)。可用反证法证明，假设 \(A_i\) 被取成了 \(A_i'\)，并且 \(A_1 \oplus A_2 \oplus A_i' \oplus A_n = 0\)。由异或运算的消去律得 \(A_i' = A_i\)，与”不能不取石子”的规则矛盾。

综上所述，再由数学归纳法可知，\(A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n \neq 0\) 为必胜局面，一定存在一种行动让对手面临“各堆石子异或起来等于 \(0\)”。\(A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n = 0\) 为必败局面，无论如何行动，都会让对手面临一个“各堆石子异或起来不等于 \(0\)”的必胜局面。

证毕。

公平组合游戏ICG

若一个游戏满足:

由两名玩家交替行动；
在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关；
不能行动的玩家判负。

则称该游戏为一个公平组合游戏。

NIM 博弈属于公平组合游戏，但常见的棋类游戏，比如围棋，就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子，胜负判定也比较复杂，不满足条件 2 和条件 3。

有向图游戏

给定一个有向无环图，图中有一个唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动，每次可以移动一步，无法移动者判负。该游戏被称为 有向图游戏。

任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是，把每个局面看成图中的一个节点，并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。

Mex运算

设 \(S\) 表示一个非负整数集合。定义 \(mex(S)\) 为求出不属于集合 \(S\) 的最小非负整数的运算，即:

\[mex(S) = \min\limits_{x \in \mathbb{N}, x \notin S} \{ x \} \]

SG函数

在有向图游戏中，对于每个节点 \(x\)，设从 \(x\) 出发共有 \(k\) 条有向边，分别到达节点 \(y_1, y_2, \ldots, y_k\)，定义 \(SG(x)\) 为 \(x\) 的后继节点 \(y_1, y_2, \ldots, y_k\) 的 SG 函值构成的集合再执行 \(mex\) 运算的结果，即：

\[SG(x) = mex(\{ SG(y_1), SG(y_2), \ldots, SG(y_k) \}) \]

特别地，整个有向图游戏 \(G\) 的 SG 函数值被定义为有向图游戏起点 \(s\) 的 SG 函数值，即 \(SG(G) = SG(s)\)。