曲面积分笔记-526互联

原文发表于 \(\text{2022-05-18 21:13:02}\)。

论一个 OIer 对分析和几何的理解能有多差。

第一型曲线积分

正则的 \(C^1\) 的参数曲线 \(\bm x\) 的弧长为

\[\int_{[a, b]} \|\bm x'(t)\|\mathrm dt \]

若 \(C^1\) 函数 \(t=t(s)\) 满足 \(t[\alpha, \beta]=[a, b]\)，则

\[\int_{[\alpha, \beta]} \|\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\bm x(t(s))\|\mathrm ds=\int_{[\alpha, \beta]} \|\bm x'(t(s))t'(s)\|\mathrm ds=\int_{[\alpha, \beta]} \|\bm x'(t(s))\||t'(s)|\mathrm ds=\int_{[a, b]} \|\bm x'(t(s))\|\mathrm dt(s) \]

说明对任意正则 \(C^1\) 函数 \(t\)， \(\bm x\circ t\) 的弧长都相同。弧长与参数化形式的选择无关。

记 \(l(t)=\int_{[a, t]} \|\bm x'(s)\|\mathrm ds\) 为曲线 \(\gamma\) 的弧长参数。

若 \(\bm x\) 以弧长参数 \(l\) 为自变量，则 \(\|\bm x'(l)\|=1\)。

设 \(f:\gamma \to \mathbb R\) 为连续函数，\(\bm x(t)\) 为曲线 \(\gamma\) 的任意一个 \(C^1\) 的参数化表示，记

\[\int_\gamma f\mathrm dl=\int_{[a, b]} f(\bm x(t)) \|\bm x'(t)\|\mathrm dt \]

称为 \(f\) 沿 \(\gamma\) 的积分。同理，根据积分的换元公式可知，上述积分的值与参数化表示 \(\bm x\) 的选取无关。

考虑在不同坐标系下的弧长。在欧氏空间直角坐标系下，

\(\mathrm dl=\|\bm x'(t)\|\mathrm dt=\sqrt{\langle \bm x'(t), \bm x'(t)\rangle}\mathrm dt=\sqrt{\sum (\mathrm d\bm x^k)^2}\)

若有坐标变换 \(\bm x=\varphi(\bm u)\)，则

\[\begin{aligned}&\mathrm dl=\sqrt{\left \langle \bm x'(t), \bm x'(t)\right \rangle}\mathrm dt=\sqrt{\left \langle \partial \varphi(\bm u(t))\bm u'(t), \partial \varphi(\bm u(t))\bm u'(t) \right \rangle}\mathrm dt \\ =&\sqrt{\left \langle \sum_i \frac{\partial \bm x}{\partial u_i}(\bm u(t))(u_i)'(t), \sum_j \frac{\partial \bm x}{\partial u_j}(\bm u(t))(u_j)'(t)\right \rangle} \\ =&\sqrt{\sum_{i, j} \left \langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_i}(\bm u(t)), \frac{\partial \bm x}{\partial u_j}(\bm u(t)) \right \rangle\mathrm du_i\mathrm du_j} \\ =&\sqrt{(\mathrm du_i, \ldots, \mathrm du_m) \Gamma(\partial \varphi(\bm u))\begin{pmatrix}\mathrm du_i \\ \vdots \\ \mathrm du_m\end{pmatrix}}\end{aligned} \]

其中 \(\Gamma(v_1, v_2, \ldots, v_k)\) 称为 \(\textrm{Gram}\) 矩阵或度量矩阵，为

\[\begin{bmatrix}\langle v_1, v_1 \rangle & \langle v_1, v_2 \rangle & \ldots & \langle v_1, v_k \rangle \\ \langle v_2, v_1 \rangle & \langle v_2, v_2 \rangle & \ldots & \langle v_2, v_k \rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle v_k, v_1 \rangle & \langle v_k, v_2 \rangle & \ldots & \langle v_k, v_k \rangle\end{bmatrix} \]

定理 \(\sqrt{\det \Gamma(v_1, \ldots, v_k)}\) 是由 \(v_1, \ldots, v_k\) 张成的平行多面体的 \(k\) 维体积。

对 \(k\) 做数学归纳法，用内积的双线性性和行列式倍加不变即可。

定理设 \(A_{(m \times m)}\) 是可逆方阵，则 \(\det A\) 是由 \(A\) 的所有列向量张成的平行多面体的 \(m\) 维体积。

例平面极坐标 \((r, \theta)\)，\(\frac{\partial \bm x}{\partial r}=\begin{pmatrix}\cos \theta \\ \sin \theta\end{pmatrix}, \frac{\partial \bm x}{\partial \theta}=\begin{pmatrix}-r\sin \theta \\ r \cos \theta\end{pmatrix}\)，\(\Gamma=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & r^2\end{pmatrix}\)，故 \(\mathrm dl=\sqrt{(\mathrm dr)^2+(r\mathrm d\theta)^2}\)。其几何解释为，在 \([\theta, \theta+\Delta \theta]\) 转成的小扇形区域，微弧长可以看作直线，\((r, \theta),(r, \theta+\Delta \theta), (r+\Delta r, \theta+\Delta \theta)\) 可以看作小直角三角形，在其上应用勾股定理。

第一型曲面积分

二维曲面

\(\mathbb R^m(m \geq 3)\) 中的二维曲面 \(\Sigma\) 的 \(C^1\) 正则参数是一个单射

\(\bm x:D \to \mathbb R^m, \bm x(u_1, u_2)=\begin{pmatrix}x_1(u_1, u_2) \\ x_2(u_1, u_2) \\ \ldots \\ x_m(u_1, u_2)\end{pmatrix}, (u_1, u_2) \in D \subseteq \mathbb R^2\)

满足 \(\frac{\partial (x_1, x_2, \ldots, x_m)}{\partial (u_1, u_2)}\) 是列满秩矩阵（也即不会在任何地方退化为一条线），它的列空间即为曲面 \(\Sigma\) 在 \(\bm x\) 处的切空间。

\(\frac{\partial \bm x}{\partial u_1}\mathrm du_1, \frac{\partial \bm x}{\partial u_2}\mathrm du_2\) 形成的无穷小的平行四边形的面积为

\[\mathrm d\sigma=\sqrt{\det \Gamma\left(\frac{\partial \bm x}{\partial u_1}, \frac{\partial \bm x}{\partial u_2}\right)}\mathrm du_1\mathrm du_2 \]

在物理上常写作

\(\sqrt{EG-F^2}\mathrm du_1\mathrm du_2\)，其中，

\(E=\left\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_1}, \frac{\partial \bm x}{\partial u_1}\right\rangle, F=\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_1}, \frac{\partial \bm x}{\partial u_2}\rangle, G=\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_2}, \frac{\partial \bm x}{\partial u_2}\rangle\)

称 \(\mathrm d\sigma\) 为 \(\Sigma\) 的面积微元。定义 \(\Sigma\) 的面积为

\[\sigma(\Sigma)=\int_\Sigma \mathrm d\sigma=\int_D \sqrt{\det\left(\left \langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_i}\frac{\partial \bm x}{\partial u_j}\right \rangle\right)_{2 \times 2}}\mathrm du_1\mathrm du_2 \]

考虑不同参数变换下的面积微元。若有正则的参数变换 \(u_1=u_1(t_1, t_2), u_2=u_2(t_1, t_2)\)（\((t_1, t_2) \in \Omega\)），即它是 \(\Omega\) 到 \(D\) 的微分同胚，则考虑 \(\tilde {\bm x}(t_1, t_2)\) 变换到 \(\bm x(u_1(t_1, t_2), u_2(t_1, t_2))\) 的过程。

\[\begin{aligned}&\sqrt{\det\left(\left\langle \frac{\partial \tilde {\bm x}}{\partial t_i}, \frac{\partial \tilde {\bm x}}{\partial t_j}\right\rangle\right)_{2 \times 2}} \mathrm dt_1 \mathrm dt_2 \\ =&\sqrt{\det\left(\left \langle \sum_{k=1}^2 \frac{\partial \bm x}{\partial u_k}\frac{\partial u_k}{\partial t_i}, \sum_{l=1}^2 \frac{\partial \bm x}{\partial u_l}\frac{\partial u_l}{\partial t_j}\right \rangle\right)_{2 \times 2}}\mathrm dt_1\mathrm dt_2 \\ =&\sqrt{\det\left(\sum_{1 \leq k, l \leq 2} \left\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_k},\frac{\partial \bm x}{\partial u_l}\right\rangle\frac{\partial u_k}{\partial t_i}\frac{\partial u_l}{\partial t_j}\right)_{2 \times 2}}\mathrm dt_1\mathrm dt_2 \\ =& \sqrt{\det\left( \frac{\partial(u_1, u_2)}{\partial (t_1, t_2)}^T \left(\left\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_k},\frac{\partial \bm x}{\partial u_l}\right\rangle \right)_{2 \times 2}\frac{\partial(u_1, u_2)}{\partial (t_1, t_2)}\right)}\mathrm dt_1\mathrm dt_2 \\ =& \sqrt{\det\left( \left\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_k},\frac{\partial \bm x}{\partial u_l}\right\rangle\right)_{2 \times 2}}\left|\det \frac{\partial(u_1, u_2)}{\partial (t_1, t_2)}\right|\mathrm dt_1\mathrm dt_2 \\ =& \sqrt{\det\left( \left\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_k},\frac{\partial \bm x}{\partial u_l}\right\rangle\right)_{2 \times 2}}\mathrm du_1\mathrm du_2\end{aligned} \]

所以 \(\mathrm d\sigma\) 与 \(\Sigma\) 的正则表示选择无关。

例求有界闭区域 \(D \subset \mathbb R^2\) 中 \(C^1\) 函数 \(f:D \to \mathbb R\) 的图像 \(\Sigma=\{(x, y, f(x, y))|(x, y) \in D\}\) 的面积。

\(\Sigma\) 的两个切向量

\(\bm v_1=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ f_x(x, y)\end{pmatrix}, \bm v_2=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ f_y(x, y)\end{pmatrix}\)

\(E=\langle \bm v_1, \bm v_1\rang=1+(f_x)^2, F=f_xf_y, G=1+(f_y)^2\)

\(\mathrm d\sigma=\sqrt{1+(f_x)^2+(f_y)^2}\mathrm dx\mathrm dy =\sqrt{1+\|\nabla f(x, y)\|^2}\mathrm dx\mathrm dy\)

几何解释为，\((1, \|\nabla f(x, y)\|)\) 为切平面与 \(xy\) 坐标形成的直角三角形的两边长度。

设 \(f:\Sigma \to \mathbb R\) 为连续函数，\(\bm x:D \to \mathbb R^m\) 为二元曲面 \(\Sigma\) 的任意一个 \(C^1\) 的参数化表示，记

\[\int_\Sigma f\mathrm d\sigma=\int_Df(x)\sqrt{\det\left(\left\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_i}, \frac{\partial \bm x}{\partial u_j}\right\rangle\right)_{2 \times 2}} \mathrm du_1 \mathrm du_2 \]

称它为 \(f\) 在曲面 \(\Sigma\) 上的积分。同理，上述积分的值与参数化表示 \(\bm x\) 的选取无关。

任意维数曲面

\(\Sigma\) 是一个 \(k\) 维的 \(C^1\) 正则曲面，\(D \subseteq \mathbb R^k\) 是一个区域，\(\frac{\partial \bm x}{\partial u_{1\sim k}}\) 线性无关，则 \(\Sigma\) 的 \(k\) 维体积微元为

\[\mathrm d\sigma=\sqrt{\det\left( \left\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_k},\frac{\partial \bm x}{\partial u_l}\right\rangle\right)_{k \times k}}\mathrm du_1\mathrm du_2\ldots \mathrm du_k \]

设 \(f:\Sigma \to \mathbb R\) 为连续函数，记

\(\int_\Sigma f\mathrm d\sigma=\int_D f(\bm x)\sqrt{\det\left( \left\langle \frac{\partial \bm x}{\partial u_k},\frac{\partial \bm x}{\partial u_l}\right\rangle\right)_{k \times k}}\mathrm du_1\mathrm du_2\ldots \mathrm du_k\)

称它为 \(f\) 在曲面 \(\Sigma\) 上的积分。同理，上述积分的值与参数化表示 \(\bm x\) 的选取无关。

例设 \(\Sigma\) 为 \(m\) 元函数 \(f\) 的图像 \(\{(x_1, \ldots, x_m, f(x_1, \ldots, x_m)|(x_1, \ldots, x_m) \in D\}\)，则

\[\mathrm d\sigma=\sqrt{1+\|\nabla f(x)\|^2}\mathrm dx_1 \ldots\mathrm dx_m \]

证明

设 \(e_1, e_2, \ldots, e_m, e_{m+1}\) 为 \(\mathbb R^{m+1}\) 的标准基，则 \(\Sigma\) 的切向量为

\[v_k=e_k+\frac{\partial f}{\partial x_k}(\bm x)e_{m+1},\ \ k=1, 2, \ldots, m \]

\[\langle v_i, v_j \rangle=\delta_{i, j}+\frac{\partial f}{\partial x_i}(\bm x)\frac{\partial f}{\partial x_j}(\bm x) \]

故 \(\left(\langle v_i, v_j \rangle\right)_{m \times m}=I+\nabla f(\bm x)\nabla f(\bm x)^T\)。

任意与 \(\nabla f(\bm x)\) 正交的向量，都是特征值为 \(1\) 的特征向量。

而在 \(\nabla f(\bm x)\) 上的单位向量 \(u=\frac{\nabla f(\bm x)}{\|\nabla f(\bm x)\|}\)，有

\((I+\nabla f(\bm x)\nabla f(\bm x)^T)u=u+\|\nabla f(x)\|^2 uu^Tu=(1+\|\nabla f(\bm x)\|^2)u\)

故特征值为 \(1\)（\(m-1\) 重），\(1+\|\nabla f(\bm x)\|^2\) （\(1\) 重）。

故 \(\det (\langle v_i, v_j\rangle) = 1+\|\nabla f(\bm x)\|^2\)。

第二类曲线积分

\(\bm F: \mathbb R^m \to \mathrm R^m\) 是一个向量场，它在空间 \(\mathbb R^m\) 的每个点 \(\bm x\) 处给出一个向量 \(\bm F(\bm x) \in \mathrm R^m\)。为了区分位置和向量，我们分别使用 \mathbb R^m 和 \bm R^m。

定义向量场 \(\bm F:\R^m \to \mathrm R^m\) 沿 \(C^1\) 的（分段 \(C^1\) 也可）连续路径 \(\bm x:[a, b] \to \mathbb R^m\) 的积分为

\[\int^b_a \left\langle \bm F(\bm x(t)), \bm x'(t) \right\rangle \mathrm dt \]

例 \(\bm F\) 是一个力场，它在空间每个点 \(\bm x\) 给出一个力 \(\bm F(\bm x)\)，其对质点做的功为

\(W=\int^b_a \langle \bm F(\bm x), \bm x'(t)\rangle\mathrm dt\)

例如果 \(\gamma\) 是 \(\mathbb R^m\) 中一条 \(C^1\) 曲线，\(\bm T:\gamma \to \mathrm R^m\) 是 \(\gamma\) 的一个连续单位切向量场，则称

\[\int_\gamma \langle \bm F(\bm x), \bm T(\bm x) \rangle \mathrm dl \]

为向量场 \(\bm F\) 沿曲线 \(\gamma\) 的单位切向量场 \(\bm T\) 的环量。

例如果 \(\gamma\) 是平面上一条 \(C^1\) 的简单封闭曲线，\(\bm n: \gamma \to \mathrm R^2\) 是单位法向量场，称

\[\int_\gamma \langle \bm F, \bm n \rangle \mathrm dl=\int_\gamma \langle \bm F(\bm x), \bm n(\bm x) \rangle \mathrm dl \]

为向量场 \(\bm F\) 沿曲线 \(\gamma\) 的法方向 \(\bm n\) 的通量。

而我们知道 \(\bm k \times n=\bm T\)，其中 \(\bm k\) 是平面的单位法向量场，\(\times\) 是叉积。

故

\[\int_\gamma \langle \bm F, \bm n \rangle \mathrm dl=\int^b_a \langle \bm F(\bm x(t)), \bm T(\bm x(t)) \times \bm k \rangle \|\bm x'(t)\|\mathrm dt=\int^b_a \langle \bm k \times \bm F(\bm x(t)), \bm x'(t) \rangle \mathrm dt \]

我们来复习一下

叉积

叉积（又称向量积、外积、叉乘）是一种在向量空间的二元运算。定义为

\[a \times b = \|a\|\|b\| \sin (\theta) \bm n \]

\(\theta\) 表示它们在所定义的平面的夹角，而 \(\bm n\) 是一个与 \(a, b\) 所构成的平面垂直的单位向量，方向根据右手定则确定。

将右手食指指向 \(a\) 的方向，中指指向 \(b\) 的方向，拇指便指向了 \(\bm n\) 的方向。

设基向量为 \(\bm i, \bm j, \bm k\)，则 \(\bm i \times \bm j=\bm k, \bm j \times \bm k=\bm i, \bm k \times \bm i=\bm j\)。

叉积有以下代数性质：

\(a \times b = -b \times a\)
\(a \times a = 0\)
\(a \times (b + c) = a \times b + a \times c\)
\((a+b) \times c = a\times c + b \times c\)
\(\lambda a \times b = \lambda(a \times b)=a \times \lambda b\)
\((a \times b) \cdot c = (b \times c) \cdot a = (c \times a) \cdot b\)

叉积没有乘法结合律。

若两个向量为 \(\bm u=\begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3\end{pmatrix}, \bm v = \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{pmatrix}\)，则 \(\bm u \times \bm v = \begin{vmatrix}\bm i & u_1 & v_1 \\ \bm j & u_2 & v_2 \\ \bm k & u_3 & v_3\end{vmatrix}\)。

更一般地，给定了 \(\mathbb R^m\) 中的 \(m-1\) 个线性无关的向量 \(\mathbf u^1, \mathbf u^2, \ldots, \mathbf u^{m-1}\)，一个与其全部正交的向量是

\(\mathbf v=\begin{vmatrix}\bm e_1 & u^1_1 & u^2_1 & \ldots & u^{m-1}_1 \\ \bm e_2 & u^1_2 & u^2_2 & \ldots & u^{m-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \bm{e}_m & u^1_m & u^2_m & \ldots & u^{m-1}_m\end{vmatrix}\)

因为对任意向量 \(w\)，根据行列式一列的展开公式可知 \(\langle \mathbf v, \mathbf w \rangle=\begin{vmatrix}w_1 & u^1_1 & u^2_1 & \ldots & u^{m-1}_1 \\ w_2 & u^1_2 & u^2_2 & \ldots & u^{m-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_m & u^1_m & u^2_m & \ldots & u^{m-1}_m\end{vmatrix}\)

故 \(\langle \mathbf v, \mathbf u^i \rangle=0\)（\(1 \leq i \leq m-1\)）。

叉积只能在一些特殊的维数上定义。因为在一些维数上不存在比较良好的运算。

第二类曲线积分与曲线的同向正则参数表示的选择无关。设可微函数 \(t:[\alpha, \beta] \to [a, b]\)，\(t(\alpha)=a, t(\beta)=b, \tilde {\bm x}(s)=\bm x(t(s))\)，则

\[\int^\beta_\alpha \langle \bm F(\tilde {\bm x}(s)), \tilde {\bm x}'(s) \rangle \mathrm ds=\int^\beta_\alpha \langle \bm F(\bm x(t(s)), \bm x'(t(s))t'(s) \rangle \mathrm ds=\int^b_a \langle \bm F(\bm x(t)), \bm x'(t) \rangle \mathrm dt \]

而反向参数表示得到的结果为相反数。

同向指的是起点和终点一致，不要求 \(t\) 递增。因为会抵消掉。这也是沿路径和沿曲线积分的不同。

一般地，我们固定地使用一种统一的方向。自然正向是曲线右手冲着无界区域的方向。

我们把内积式展开

\(\bm F=\begin{pmatrix}F_1 \\ \vdots \\ F_m\end{pmatrix}, \bm x=\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix}\)，则有

\[\int^b_a \langle \bm F(\bm x(t)), \bm x'(t))\mathrm dt=\int^b_a F_1(\bm x(t)) \mathrm dx_1(t)+\ldots+F_m(\bm x(t))\mathrm dx_m(t) \]

称 \(\omega=F_1(\bm x)\mathrm dx_1+\ldots+F_m(\bm x)\mathrm dx_m\) 为一个一阶微分形式。

一个一阶微分形式是空间中的一个线性函数场，它在每点 \(P\) 处指定一个线性函数 \(\omega_P\)。\(\omega\) 作用于一个向量场 \(X\) 得到一个函数 \(\omega(X)\)。

\[\omega(X)(P)=\omega_P(X(P)) \]

故

\[\int_\gamma \omega=\int^b_a \omega_{\bm x(t)} \bm x'(t)\mathrm dt \]

在寻找通用计算方法之前，先考虑一个特殊的情况。

如果 \(\bm F\) 存在 \(f\) 使得 \(\bm F(x)=\nabla f(x), \forall x\)，则称 \(\bm F\) 为梯度向量场或有势向量场，\(f\) 为 \(\bm F\) 的一个势函数。

根据链索法则的矩阵形式（\(J\) 为 \(\textrm{Jacobi}\) 矩阵）

\[J(F \circ G)(\bm x_0)=JF(\mathrm y_0) \cdot JG(\bm x_0) \]

可知

\(\int_\gamma \langle \nabla f, \mathrm dl \rangle=\int^b_a \langle \nabla f(\bm x(t)), \bm x'(t) \rangle \mathrm dt=\int^b_a \mathrm df(\bm x(t))=f(\bm x(b)) - f(\bm x(a))=f(B)-f(A)\)

这说明，梯度向量场沿任何 \(C^1\) 路径的值只与路径起点和终点的位置有关。

称积分与路径无关的向量场为保守场。可知梯度向量场都是保守场。而保守场也同样都是梯度向量场。证明将在 \(\textrm{Green}\) 公式处提及。

\(\color{green} \textrm{Green}\) 公式

设 \(\Omega\) 是平面有界闭区域，边界 \(\partial \Omega\) 由有限条 \(C^1\) 曲线组成，自然正向。则对任何 \(C^1\) 函数 \(X, Y\)，都有

\[\int_{\partial \Omega} X\mathrm dx+Y\mathrm dy=\iint_{\Omega} \left(\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y}\right)\mathrm dx\mathrm dy \]

证明考虑将 \(\Omega\) 拆成若干个区域 \(D\)，每个区域是 \(x=a, x=b, y=\varphi(x), y=\psi(x)\)（\(\varphi \geq \psi\)）围成的区域，或是 \(y=\alpha, y=\beta, x=f(y), x=g(y)\) 围成的区域。

若在 \(D\) 上 \(\textrm{Green}\) 公式成立，则我们可以将 \(\Omega\) 分成若干个 \(D\)，\(\int_{\partial \Omega}\mathrm dl=\sum \int_{\partial D}\mathrm dl\)，\(\iint_{\Omega} \mathrm dS=\sum \iint_D \mathrm dS\)，故 \(\Omega\) 上也成立。

仅对第一种情况证明。第二种同理。

\[\begin{aligned}&\int_{\partial D}X \mathrm dx \\ =&\int_{y=\psi(x), a \leq x \leq b} X \mathrm dx-\int_{y=\varphi(x), a \leq x \leq b} X\mathrm dx \\ =&\int^b_a X(x, \psi(x))-X(x, \varphi(x))\mathrm dx \\ =&\int^b_a \int^{\varphi(x)}_{\psi(x)}-\frac{\partial X}{\partial y}\mathrm dx\mathrm dy \\ =&\iint_D -\frac{\partial X}{\partial y}\mathrm dx\mathrm dy\end{aligned} \]

类似的，

\[\begin{aligned} &\int_{\partial D} Y\mathrm dy \\ =&\int_{y = \psi(x), a \leq x \leq b} Y \mathrm dy+\int^{\varphi(b)}_{\psi(b)} Y(b, y)\mathrm dy-\int_{y = \varphi(x), a \leq x \leq b} Y\mathrm dy-\int^{\varphi(a)}_{\psi(a)} Y(a, y)\mathrm dy \\ =& \int^b_a Y(x, \psi(x))\psi'(x)-Y(x, \varphi(x))\varphi'(x)\mathrm dx+ \left.\int^{\varphi(t)}_{\psi(t)}Y(t, y)\mathrm dy\right|^b_a \\ =&\int^b_a Y(x, \psi(x))\psi'(x)-Y(x, \varphi(x))\varphi'(x)\mathrm dx+ \frac{\partial }{\partial t} \int^b_a \int^{\varphi(t)}_{\psi(t)} Y(t, y)\mathrm dy\mathrm dt \\ =&\int^b_a Y(x, \psi(x))\psi'(x)-Y(x, \varphi(x))\varphi'(x)\mathrm dx+\int^b_a \left(\int^{\varphi(t)}_{\psi(t)} Y(t, y)\mathrm dy\right)'_t \mathrm dy \mathrm dt \\ =&\int^b_a \int^{\varphi(t)}_{\psi(t)}\frac{\partial Y}{\partial x}\mathrm dy\mathrm dt \\ =& \iint_D \frac{\partial Y}{\partial x}\mathrm dx\mathrm dy\end{aligned} \]

例 \(\Omega\) 的面积为

\[\int_{\partial \Omega} x \mathrm dy=\iint_{\Omega} \mathrm d\sigma \]

旋度、散度

对平面向量场 \(\bm F\)，称 \(\textrm{curl } \bm F=\textrm{rot } \bm F=\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y}\) 为 \(\bm F\) 的旋度，\(\textrm{div }\bm F=\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}\) 为 \(\bm F\) 的散度。

环量-旋度公式

\[\int_{\partial \Omega} \langle \bm F, \mathrm dl \rangle = \iint_{\Omega} \textrm{curl } \bm F \mathrm d\sigma \]

通量-散度公式

\[\int_{\partial \Omega} \langle \bm F, \bm n \rangle \mathrm dl=\iint_{\Omega} \textrm{div }\bm F \mathrm d\sigma \]

有势场：\(\bm F=\nabla f\)。

保守场：\(\int^B_A \langle \bm F, \mathrm dl \rangle\) 与路径无关。

无旋场：\(\textrm {curl }\bm F=0\)。

无源场：\(\textrm{div } \bm F=0\)。

线性向量场的 \(\textrm{Helmholtz}\) 分解：一个向量场能够分成一个无旋场和一个无源场的和。

\[\bm F(x, y)=\begin{pmatrix}a(x, y) & b(x, y) \\ c(x, y) & d(x, y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax + by \\ cx + dy\end{pmatrix} \]

\(A=\begin{pmatrix}a(x, y) & b(x, y) \\ c(x, y) & d(x, y)\end{pmatrix}\)

则 \(\textrm{curl } \bm F=c-b, \textrm{div } \bm F=a+d=\textrm{tr } A\)。

令 \(\bm F_1=\frac{A+A^T} 2, \bm F_2=\frac{A-A^T}2\)。

则 \(\bm F_1\) 无旋，\(\bm F_2\) 无源。

定义集合 \(A \subset \mathbb R^m\) 是单连通的，如果 \(A\) 中任何闭曲线都可以在 \(A\) 中连续变形为一个点。

定理有势场 \(\Leftrightarrow\) 保守场 \(\Leftrightarrow\) 任何沿环路积分 \(=0 \Leftrightarrow\) 区域单连通的无旋场。

保守场 \(\Leftrightarrow\) 任何沿环路积分 \(=0\)，显然。
有势场 \(\Rightarrow\) 保守场，微积分基本定理。
有势场 \(\Leftarrow\) 保守场

考虑固定一点 \(A\)，令 \(f(x)=\int^x_A \langle \bm F, \mathrm dl \rangle\)，可知积分值与路径无关。

\[\begin{aligned}&\lim_{t \to 0^+}\frac{f(x+t\bm e_k)-f(x)}t\\ =&\lim_{t \to 0^+}\frac{\int^t_0 \langle \bm F(x+s\bm e_k), \mathrm d(x+s\bm e_k) \rangle}t \\ =&\lim_{t \to 0^+}\frac{\int^t_0 \bm F^k(x+s\bm e_k)\mathrm ds}t\\ =&\lim_{t \to 0^+}\frac{t \bm F^k(x+\xi\bm e_k)}t & 0 \leq \xi \leq 1 \\ =&\lim_{t \to 0^+}F^k(x+\xi\bm e_k) & 0 \leq \xi \leq 1 \\ =&F^k(x)\end{aligned} \]

其中上标为取其在一维的坐标分量。

这说明，\(\nabla f=\bm F\)。\(\bm F\) 是有势场。

区域单连通时，有势场 \(\Leftrightarrow\) 无旋场。代入 \(\textrm{Green}\) 公式即可。

不单连通的无旋场并不能推出其是有势场。考虑

\[\bm F=\begin{pmatrix}-\frac y{x^2+y^2} \\ \frac x{x^2+y^2} \end{pmatrix} \]

是无旋场。但

\[\int_{x^2+y^2=R^2} -\frac y{x^2+y^2}\mathrm dx+\frac x{x^2+y^2}\mathrm dy=2\pi \]

这是因为 \((0, 0)\) 处 \(\bm F\) 没有定义，有流量在偷跑。

一阶微分形式确定的微分方程

\[X(x, y)\mathrm dx+Y(x, y)\mathrm dy=0 \]

称 \((x(t), y(t))\) 是这个微分方程的一个积分曲线，如果

\[X(x(t), y(t))x'(t)+Y(x(t), y(t))y'(t)=0 \]

当 \((X, Y) \neq 0\) 时，上述微分方程可以写成

\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac XY\) 或 \(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=-\frac YX\)

此时方程的解是一条曲线。

如果存在函数 \(f\) 使得 \((X, Y)^T\) 平行于 \(\nabla f\)，则微分方程可以写成 \(\nabla f=0\)，也即 \(f(x, y)=c\) 的形式，也即 \(f\) 的任意等高线都是微分方程的解。

如果存在函数 \(\mu\) 使得 \((\mu X, \mu Y)^T\) 平行于 \(\nabla f\)，则微分方程 \(\mu X\mathrm dx+\mu Y\mathrm dy=0\) 可以写成 \(\nabla f=0\)，也即 \(f(x, y)=c\) 的形式。称 \(\mu\) 是微分形式 \(X \mathrm dx+Y\mathrm dy\) 的积分因子。

第二类曲面积分

二维曲面

定义设 \(\Sigma \subset \mathbb R^m\) 是一个 \(m-1\) 维 \(C^1\) 正则曲面，称 \(\Sigma\) 是一个有向曲面，如果存在连续的单位法向量场 \(\bm n: \Sigma \to \mathbb R^m\)。有向曲面记为 \((\Sigma, \bm n)\)。

例

超平面 \(\langle a, x-x_0 \rangle = 0\) 是可定向曲面，\(\bm n=\frac a{\|a\|}\)。
球面 \(\sum (x^i)^2=R^2\) 是可定向曲面，\(\bm n=\frac xR\)。
\(F\) 是 \(m\) 元 \(C^1\) 函数，\(F\) 在高度 \(C\) 的等高线 \(F^{-1}(C)=\{x|F(x)=C\}\) 若没有临界点，则是可定向曲面，\(\bm n=\frac{\nabla F}{\|\nabla F\|}\)。
若参数曲面

\[\begin{cases}x^1=x^1(u^1, \ldots, u^{m-1}) \\ \vdots \\ x^m=x^m(u^1, \ldots, u^{m-1})\end{cases} \]

是一个 \(U \subset \mathbb R^{m-1}\to x(U) \subset \mathbb R^m\) 的微分同胚，则曲面为可定向曲面。

记

\[N^i(x)=(-1)^{m+i}\det \frac{\partial(x^1, \ldots, \hat x^i, \ldots, x^m)}{\partial(u^1, \ldots, u^{m-1})} \]

其中 \(\hat x^i\) 表示去掉第 \(i\) 行。

由于是微分同胚，\(N^i(x)\) 不均为零。

\[\bm n(x)=\left(\frac{N^i(x)}{\sqrt{N^1(x)^2+\ldots +N^m(x)^2}}\right)^T \]

\(\textrm{Möbius}\) 带 \(\begin{cases}x=(4+t \cos \frac \theta2)\cos \theta \\ y=(4+t\cos \frac \theta 2)\sin \theta \\ z=t \sin \frac \theta 2\end{cases},\ -1 < t < 1, 0 \leq \theta \leq 2 \pi\) 是不可定向曲面。因为在 \(\theta=0, 2\pi\) 时对应了同一排点，法向量恰好反向，不满足微分同胚一一对应的条件。

定义设 \((\Sigma, \mathbf n)\) 是一个定向曲面，对连续向量场 \(\bm F: \Sigma \to \bm R^3\)，称 \(\int_\Sigma \langle \bm F, \bm n \rangle \mathrm d \sigma\) 为向量场 \(\bm F\) 沿曲面 \(\Sigma\) 的法方向场 \(\bm n\) 的积分，称为向量场 \(\bm F\) 关于有向曲面 \(\Sigma\) 的通量。

定理对 \(C^1\) 正则的参数曲面 \(\Sigma \subset \mathbb R^3\)，\(\begin{cases}x=x(u_1, u_2) \\ y=y(u_1, u_2) \\ z = z(u_1, u_2)\end{cases}\ ,\ (u_1, u_2) \in D \subseteq \mathbb R^2\)，满足 \(\frac{\partial \bm x}{\partial u_1}\times \frac{\partial \bm x}{\partial u_2}\) 与 \(\bm n\) 的方向一致。则对于任何连续向量场 \(\bm F:\Sigma \to \bm R^3\)，

\[\int_\Sigma \langle \bm F, \bm n \rangle \mathrm d\sigma=\int_D \det \left(\bm F, \frac{\partial \bm x}{\partial u_1}, \frac{\partial \bm x}{\partial u_2}\right)\mathrm du_1\mathrm du_2 \]

其中 \(\textrm d\sigma\) 为 \(\Sigma\) 的无向面积微元。\(\bm n \mathrm d \sigma=\frac{\partial \bm x}{\partial u_1}\times \frac{\partial \bm x}{\partial u_2}\mathrm du_1 \mathrm du_2\)。如果反向则为 \(\frac{\partial \bm x}{\partial u_2}\times \frac{\partial \bm x}{\partial u_1}\mathrm du_1 \mathrm du_2\)。

证明考虑行列式的几何意义，其是两个无穷小和 \(\bm F\) 张成的平行多面体的三维体积。

定义 二阶微分形式是一个反对称、双线性函数场 \(\omega\)：

它作用于一对向量场 \(\xi, \eta\)，得到一个函数

\[\omega(\xi, \eta)(P)=\omega_P(\xi(P), \eta(P)) \]

反对称：\(\omega(\xi, \eta)=-\omega(\eta, \xi)\)

双线性：对任意 \(a, b \in \mathbb R\)，\(\omega(a\xi+b\eta, \zeta)=a\omega(\xi, \zeta)+b\omega(\eta, \zeta), \omega(\zeta, a\xi+b\eta)=a\omega(\zeta, \xi)+b\omega(\zeta, \eta)\)

称反对称、双线性的函数为一个2-形式。

定义设 \(\omega_1, \omega_2\) 是两个一阶微分形式，它们的斜积（楔积、外积、wedge product）是一个二阶微分形式

\[\omega_1\wedge \omega_2(\xi, \eta)=\begin{vmatrix}\omega_1(\xi) & \omega_1(\eta) \\ \omega_2(\xi) & \omega_2(\eta)\end{vmatrix} \]

可知 \(\omega_1\wedge \omega_2(\xi, \eta)\) 关于 \(\xi, \eta\) 反对称、双线性。

特别地，取 \(\omega_1=\mathrm dx, \omega_2=\mathrm dy\)，设 \(\xi=(\xi^1, \xi^2, \xi^3)^T, \eta=(\eta^1, \eta^2, \eta^3)^T\)，有

\[\mathrm dx \wedge \mathrm dy(\eta, \xi)=\begin{vmatrix}\mathrm dx(\xi(x, y, z)) & \mathrm dx(\eta(x, y, z)) \\ \mathrm dy(\xi(x, y, z)) & \mathrm dy(\eta(x, y, z))\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \xi^1 & \eta^1 \\ \xi^2 & \eta^2\end{vmatrix} \]

类似地可以有 \(\mathrm dy \wedge \mathrm dz=\begin{vmatrix} \xi^2 & \eta^2 \\ \xi^3 & \eta^3 \end{vmatrix}, \mathrm dz \wedge \mathrm dx=\begin{vmatrix}\xi^3 & \eta^3 \\ \xi^1 & \eta^1\end{vmatrix}\)。

它们分别是由 \(\xi, \eta\) 构成的空间有向平行四边形在 \(xy, yz, zx\) 坐标平面中投影平行四边形的有向面积。

对任意二阶微分形式 \(\omega\)，

\[\begin{aligned}&\omega(\xi, \eta)=\sum_{1 \leq i, j \leq 3} \xi^i \eta^j \omega(\bm e_i, \bm e_j) \\=&\sum_{1 \leq i < j \leq 3} \begin{vmatrix}\xi^i & \eta^i \\ \xi^j & \eta^j\end{vmatrix} \omega(\bm e_i, \bm e_j) \\=&\omega(\bm e_1, \bm e_2) \mathrm dx \wedge \mathrm dy(\xi, \eta)+\omega(\bm e_2, \bm e_3) \mathrm dy \wedge \mathrm dz(\xi, \eta)+\omega(\bm e_3, \bm e_1) \mathrm dz \wedge \mathrm dx(\xi, \eta) \\ =&\begin{vmatrix} \omega(\bm e_2, \bm e_3) & \mathrm dx(\xi) & \mathrm dx(\eta) \\ \omega(\bm e_3, \bm e_1) & \mathrm dy(\xi) & \mathrm dy(\eta) \\ \omega(\bm e_1, \bm e_2) & \mathrm dz(\xi) & \mathrm dz(\eta)\end{vmatrix}\end{aligned} \]

所以 \(\mathbb R^3\) 中任何二阶微分形式都是 \(\mathrm dx \wedge \mathrm dy, \mathrm dy \wedge \mathrm dz, \mathrm dz \wedge \mathrm dz\) 的线性组合。

定义二阶微分形式 \(\omega\) 在有向曲面 \((\Sigma, \bm n)\) 上的积分，定义为

\[\int_\Sigma \omega=\int_D \omega(\partial_u \bm x, \partial_v \bm x)\mathrm du\mathrm dv \]

其中 \(\partial_u \bm x, \partial_v \bm x, \bm n\) 构成右手系。

考虑不同参数变换下的面积微元。设 \(u=u(t, s), v=v(t, s)\) 是保定向微分同胚（\(\frac{\partial (u, v)}{\partial(t, s)}> 0\)），记 \(\widetilde {\bm x}(t, s)=\bm x(u(t, s), v(t, s))\)，则 \((\partial_t \widetilde {\bm x}, \partial_s \widetilde {\bm x})=(\partial_u \bm x, \partial_v \bm x)\frac{\partial (u, v)}{\partial(t, s)}\)，

\[\begin{aligned}&\omega(\partial_t\widetilde {\bm x}, \partial_s \widetilde {\bm x})\mathrm dt\mathrm ds \\ =& \omega\left(\frac{\partial u}{\partial t} \partial _u \bm x+\frac{\partial v}{\partial t}\partial_v \bm x, \frac{\partial u}{\partial s} \partial _u \bm x+\frac{\partial v}{\partial s}\partial_v \bm x\right)\mathrm dt\mathrm ds \\ =&\omega(\partial_u \bm x, \partial_v \bm x)\frac{\partial (u, v)}{\partial(t, s)}\mathrm dt\mathrm ds \\ =& \omega(\partial_u \bm x, \partial_v \bm x)\mathrm du\mathrm dv\end{aligned} \]

所以 \(\mathrm d\sigma\) 与 \(\Sigma\) 的正则表示选择无关。

我们可以将通量转化为二阶微分形式。

\[\langle \bm v, \bm n \rangle \mathrm d \sigma= \begin{vmatrix} \bm v^1 & \frac{\partial \bm x}{\partial u} & \frac{\partial \bm x}{\partial v} \\ \bm v^2 & \frac{\partial \bm y}{\partial u} & \frac{\partial \bm y}{\partial v} \\ \bm v^3 & \frac{\partial \bm z}{\partial u} & \frac{\partial \bm z}{\partial v}\end{vmatrix}=\bm v^1 \mathrm dy \wedge \mathrm dz+\bm v^2 \mathrm dz \wedge \mathrm dx + \bm v^3 \mathrm dx \wedge \mathrm dy \]

例 \(\mathrm dy \wedge \mathrm dx=\mathrm d(r\sin \theta) \wedge \mathrm d(r \cos \theta)=(\sin \theta \mathrm dr+r \cos \theta \mathrm d\theta) \wedge (\cos \theta \mathrm dr - r \sin \theta \mathrm d \theta) = r \mathrm d \theta \wedge \mathrm dr\)

二阶微分形式的换元公式，推进与拉回

设 \(\Phi: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3\) 是一个 \(C^1\) 映射，\(\Phi(x, y, z)=(X, Y, Z)\)，设 \(\omega\) 是 \((X, Y, Z)\) 空间中的一个二阶微分形式。

对于 \((x, y, z)\) 空间中的两个向量场 \(\xi(x, y, z), \eta(x, y, z)\)，

\[\mathrm D\Phi(x, y, z) \xi(x, y, z), \mathrm D\Phi(x, y, z) \eta(x, y, z) \]

是 \((X, Y, Z)\) 空间中的向量场，记它们为 \(\Phi_* \xi, \Phi_* \eta\)（推进）。定义

\[\Phi^* \omega(\xi, \eta)=\omega(\Phi_* \xi, \Phi_* \eta) \]

（拉回）

则有

\[\int_\Sigma \Phi^* \omega=\int_{\Phi(\Sigma)} \omega \]

证明

\[\begin{aligned}&\int_\Sigma \Phi^* \omega \\ =&\int_{D_{u, v}} \Phi^* \omega(\partial_u \bm x, \partial_v \bm x)\mathrm du\mathrm dv \\ =&\int_{D_{u, v}} \omega(\Phi_*\partial_u \bm x, \Phi_* \partial_v \bm x) \mathrm du\mathrm dv \\ =&\int_{D_{u, v}} \omega(\mathrm D \Phi(\bm x)\partial_u \bm x, \mathrm D \Phi(\bm x)\partial_v \bm x)\mathrm du\mathrm dv \\ =&\int_{D_{u, v}}\omega(\partial_u \bm x, \partial_v \bm x)\mathrm du\mathrm dv & \text{链索法则，转化为像的切空间} \\ =& \int_{\Phi(\Sigma)}\omega\end{aligned} \]

可以推广到高维。

任意维数曲面

\(k\) 阶微分形式

\(k-\)形式是一个作用在 \(k\) 个线性函数场，\(k\) 重线性的反对称函数：

\(\omega(v_1, \ldots, v_k)\) 对每个 \(v\) 是线性的。

\[\omega(v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(k)})=(-1)^{\#\sigma} \omega(v_1, \ldots, v_k) \]

\(\#\sigma\) 表示排列 \(\sigma\) 的逆序对数。

设 \(\bm e_1, \ldots, \bm e_m\) 是基底向量，\(v_i=\sum_{j=1}^m a^j_i \bm e_j\)，则

\[\begin{aligned}&\omega(v_1, \ldots, v_k) \\ =&\sum_{j_1, \ldots, j_k} a_1^{j_1}\ldots a_k^{j_k} \omega(\bm e_{j_1}, \ldots, \bm e_{j_k}) \\ =&\sum_{1 \leq j_1 < \ldots < j_k \leq m} \sum_\sigma a_1^{j_{\sigma(1)}}\ldots a_k^{j_{\sigma(k)}}(-1)^{\#\sigma} \omega(\bm e_{j_1}, \ldots, \bm e_{j_k}) \\ =& \sum_{1 \leq j_1 < \ldots < j_k \leq m}\omega(\bm e_{j_1}, \ldots, \bm e_{j_k}) \begin{vmatrix}a_1^{j_1} & \ldots & a_k^{j_1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1^{j_k} & \ldots & a_k^{j_k}\end{vmatrix}\end{aligned} \]

设 \(\mathrm dx^1, \ldots, \mathrm dx^m\) 是对应基底向量 \(\bm e_1, \ldots, \bm e_m\) 的坐标函数，记

\(\mathrm dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \mathrm dx^{j_k}(v_1, \ldots, v_k)=\begin{vmatrix} \mathrm dx^{j_1}(v_1) & \ldots & \mathrm dx^{j_1}(v_k) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathrm dx^{j_k}(v_1) & \ldots & \mathrm dx^{j_k}(v_k)\end{vmatrix}\)

那么其是一个 \(k-\)形式，且对于所有 \(k-\)形式，有

\[\omega=\sum_{1 \leq j_1 < \ldots < j_k \leq m} \omega(\bm e_{j_1}, \ldots, \bm e_{j_k}) \mathrm dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \mathrm dx^{j_k} \]

这说明所有的 \(k-\)形式组成了 \(\binom mk\) 维的线性空间，所有 \(\mathrm dx^{j_1}\wedge \ldots \wedge \mathrm dx^{j_k}\) 构成了空间的一组基。

设 \(\Sigma\) 是 \(\mathbb R^m\) 中的超曲面，\(\Phi: \left(\mathbb R^{m-1}\supset \right)U \to \mathbb R^m\) 是 \(\Sigma\) 的 \(C^1\) 正则参数表示，

\[\bm n=\frac{\begin{vmatrix} \bm e_1 & \frac{\partial x^1}{\partial u^1} & \ldots & \frac{\partial x^1}{\partial u^{m-1}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \bm e_m & \frac{\partial x^m}{\partial u^1} & \ldots & \frac{\partial x^m}{\partial u^{m-1}}\end{vmatrix}}{\left\|\begin{vmatrix} \bm e_1 & \frac{\partial x^1}{\partial u^1} & \ldots & \frac{\partial x^1}{\partial u^{m-1}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \bm e_m & \frac{\partial x^m}{\partial u^1} & \ldots & \frac{\partial x^m}{\partial u^{m-1}}\end{vmatrix}\right\|} \]

是 \(\Sigma\) 的连续单位法向量场。

设 \(\bm v=(v^1, \ldots, v^m)^T\) 是 \(\Sigma\) 上的连续向量场，\(\bm v\) 沿有向曲面 \((\Sigma, \bm n)\) 的通量为

\[\begin{aligned}&\int_\Sigma \langle \bm v, \bm n \rangle \mathrm d\sigma \\ =& \int_U\begin{vmatrix} v^1 & \frac{\partial x^1}{\partial u^1} & \ldots & \frac{\partial x^1}{\partial u^{m-1}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v^m & \frac{\partial x^m}{\partial u^1} & \ldots & \frac{\partial x^m}{\partial u^{m-1}}\end{vmatrix}\mathrm du^1\mathrm du^2\ldots\mathrm du^{m-1} \\ =& \int_\Sigma \sum_{k=1}^m (-1)^{k-1} v^k \mathrm dx^1 \wedge \ldots \wedge \widehat{\mathrm dx^k} \wedge \ldots \wedge \mathrm dx^m\end{aligned} \]

其中 \(\widehat{\mathrm dx^k}\) 表示去掉这一项。

散度、旋度

在直角坐标系中，我们定义向量场 \(\bm X=(X^1, \ldots, X^m)^T\) 的散度为

\[\textrm{div } \bm X=\nabla \cdot \bm X=\frac{\partial X^1}{\partial x^1}+\ldots +\frac{\partial \bm X^m}{\partial x^m} \]

\(\textrm{Gauss}\) 公式

设有界闭区域 \(\Omega \subset \mathbb R^m\) 的边界 \(\partial \Omega\) 是一个分片 \(C^1\) 正则曲面，\(\bm n\) 方向朝向无界区域。则对 \(\Omega\) 上的任意 \(C^1\) 向量场 \(\bm X\)，都有

\[\int_{\partial \Omega} \langle \bm X, \bm n \rangle \mathrm d \sigma=\int_\Omega \textrm{div } \bm X \mathrm d \mu \]

用微分形式表达，对任何 \(m-1\) 阶微分形式 \(\omega\)，都有

\[\int_{\partial \Omega} \omega= \int_\Omega \mathrm d \omega \]

其中

\(\omega=\sum_{k=1}^m (-1)^{k-1} X^k \mathrm dx^1 \wedge \ldots \wedge \widehat{\mathrm dx^k} \wedge \ldots \wedge \mathrm dx^m\)

\[\mathrm d \omega=\sum_{k=1}^m \frac{\partial X^k}{\partial x^k} \mathrm dx^1 \wedge \ldots \wedge \mathrm dx^m \]

证明分三步。

在 \([0, 1]^m\) 上成立。
在 \(\Phi([0, 1]^m)\) 上成立。

\[\int_{\partial \Phi[0, 1]^m} \omega=\int_{\partial [0, 1]^m} \Phi^*\omega=\int_{[0, 1]^m} \mathrm d(\Phi^*\omega)=\int_{[0, 1]^m} \mathrm d\omega(\mathrm D \Phi)=\int_{[0, 1]^m} \Phi^*(\mathrm d\omega)=\int_{\Phi[0, 1]^m} \mathrm d\omega \]

\(\Omega\) 分成若干个 \(\Phi\) 的并。

例阿基米德定律：全部或部分浸没于流体中的物体所受到的浮力的大小等于它所排开流体的重量。

设 \(\Omega\) 是物体在流体中所占的区域，\(z\) 是深度，则 \((x, y, z)\) 处的压强为 \(\rho gz \bm n\)，\(\bm n\) 是单位外法向量。

\[\begin{aligned}\bm F=&\iint_{\partial \Omega} \rho g z \bm n \\=&\iint_{D_{u, v}} \rho g z \begin{vmatrix} \bm i & \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \bm j & \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\ \bm k & \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v}\end{vmatrix} \mathrm du \wedge \mathrm dv \\ =& \iint_{\partial \Omega} \rho g z \bm i\mathrm dy \wedge \mathrm dz+\rho g z \bm j \mathrm dz \wedge \mathrm dx+\rho gz \bm k \mathrm dx \wedge \mathrm dy \\ =& \iiint_\Omega \rho g \mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz \bm k \\ =& \rho g V \bm k\end{aligned} \]

在直角坐标系中，我们定义向量场 \(\bm X=(X^1, \ldots, X^m)^T\) 的旋度为

\[\textrm{curl } \bm F=\textrm{rot } \bm F=\left(\frac{\partial X^3}{\partial x^2}-\frac{\partial X^2}{\partial x^3}, \frac{\partial X^1}{\partial x^3}-\frac{\partial X^3}{\partial x^1}, \frac{\partial X^2}{\partial x^1}-\frac{\partial X^1}{\partial x^2}\right) \]

想法来自

\(\frac 12(\mathrm D\bm F-(\mathrm D \bm F)^T)\) 的 \(i, j\) 两行两列的子阵

\[\frac 12 \begin{pmatrix} 0 & \frac{\partial X^j}{\partial x^i}-\frac{\partial X^i}{\partial x^j} \\ \frac{\partial X^i}{\partial x^j}-\frac{\partial X^j}{\partial x^i} & 0 \end{pmatrix} \]

描述了向量场 \(\bm F\) 在 \(x^ix^j\) 坐标平面中的旋转。

\(\textrm{Stokes}\) 公式

设 \(\Sigma\) 是 \(\mathbb R^3\) 中的二维 \(C^1\) 有向曲面，\(\partial \Sigma\) 是逐段 \(C^1\) 曲线，其方向为左手指向 \(\Sigma\) 区域。设 \(\bm F\) 是 \(C^1\) 向量场，则

\[\int_{\partial \Sigma} \langle\bm F, \mathrm dl \rangle=\iint_\Sigma \langle\textrm{curl }\bm F, \bm n \rangle \mathrm d \sigma \]

用微分形式表达，对任何一阶微分形式 \(\omega\)，都有

\[\int_{\partial \Sigma} \omega=\iint_\Sigma \mathrm d \omega \]

后者可以推广到任意维数。

证明同样分三步。

在 \([0, 1]^m\) 上成立。\(\textrm{Green}\) 公式。
在 \(\Phi([0, 1]^m)\) 上成立。
\(\Sigma\) 分成若干个 \(\Phi\) 的并。

可知在任何维数，有势场 \(\Leftrightarrow\) 保守场 \(\Rightarrow\) 无旋场 \(\stackrel{区域单连通}\Longleftrightarrow\) 有势场。

场论

\(\nabla\) 算子，对函数 \(f\)，\(\nabla f\) 是 \(f\) 的梯度，对应的微分形式为 \(\mathrm df\)，在笛卡尔坐标系下为坐标偏导数组成的向量。

对向量场 \(\bm F\)，\(\nabla \times \bm F\) 是 \(\bm F\) 的旋度，\(\bm F\) 对应一阶微分形式 \(\omega\)，则 \(\nabla \times \bm F\) 对应 \(\mathrm d\omega\)。

\[\nabla \times \bm F=\begin{pmatrix} F^3_2 - F^2_3 \\ F^1_3 - F^3_1 \\ F^2_1 - F^1_2\end{pmatrix}=\begin{vmatrix} \bm i & \frac{\partial }{\partial x} & F^1 \\ \bm j & \frac{\partial }{\partial y} & F^2 \\ \bm k & \frac{\partial}{\partial z} & F^3\end{vmatrix} \]

由行列式的形式，我们可以理解为什么使用叉乘 \(\times\)。

\(\nabla \cdot \bm F\) 是 \(\bm F\) 的散度，\(\bm F\) 对应二阶微分形式 \(\omega\)，则 \(\nabla \cdot \bm F\) 对应于 \(\mathrm d\omega\)。在笛卡尔坐标系下

\[\nabla \cdot \bm F = F^1_x+F^2_y+F^3_z \]

梯度场是无旋场：\(\nabla \times \nabla f = 0\)。
旋度场是无源场：\(\nabla \cdot(\nabla \times \bm F)=0\)。
上述两式的统一：对任何微分形式 \(\omega\)，有 \(\mathrm d\mathrm d \omega=0\)。
\(\nabla, \nabla \times, \nabla \cdot\) 都是线性的。

\(\textrm{Leibniz}\) 公式

\(\nabla(fg)=f\nabla g+g\nabla f\)
\(\nabla \times (\mu \bm F)=\mu \nabla \times \bm F + \nabla \mu \times \bm F\)，其中 \(\mu\) 为线性函数场。
\(\nabla \cdot (\mu \bm F)=\mu \nabla \cdot \bm F + \nabla \mu \cdot \bm F\)
\(\nabla \cdot(F \times G) = G \cdot(\nabla \times F) - F \cdot(\nabla \times G)\)

用微分形式写成统一形式：对任何微分形式 \(\omega_1, \omega_2\)，

\[\mathrm d(\omega_1 \wedge \omega_2)=\mathrm d \omega_1 \wedge \omega_2+(-1)^{\#\omega_1}\omega_1 \wedge \mathrm d \omega_2 \]

其中 \(\#\omega_1\) 为 \(\omega_1\) 的阶数。

当 \(\omega=f\) 是函数时，可以视其为 \(0\) 阶微分形式，规定 \(f \wedge \omega=\omega\wedge f=f\omega\)。