https://www.bilibili.com/video/BV1Ei4y1F72M，https://www.bilibili.com/video/BV1R7411a76r和https://www.bilibili.com/video/BV1o7411a76m 三个3Blue1Brown的视频给予了很大的参考，这篇博客可以看做这几个视频的观后笔记总结
贝叶斯公式推导
假定已知“图书管理员和农民的比例是1:20”，Steve的职业是其中之一，他最有可能是什么？
此时我们的回答肯定是“农民“，因为众所周知 农民的概率更高。
现在给出额外的信息“Steve是一个温顺且办事井井有条的人”， 问题依旧，Steve的职业是图书管理员和农民，他最有可能是什么？
我们此时会抉择，因为我们知道图书管理员往往是一个温顺且办事井井有条的人，这似乎 提高 了Steve是图书管理员的概率，也就意味着在我们心中，在“Steve是一个温顺且办事井井有条的 条件 下，Steve是图书管理员的可能性“不再是\(\frac{1}{20+1}\)，而是比他大的某一个值，因为条件 佐证 更偏向于图书管理员这个职业。
这里对我们之前已知的所有信息进行一些形式化定义。
众所周知的“图书管理员和农民的比例是1:20”，这是一个先验概率，对应于Steve为图书管理员的可能性，记为\(P(H)=\frac{1}{20+1}\)，其中Steve为图书管理员是我们的假设\(H\)
额外的信息“Steve是一个温顺且办事井井有条的人”，是我们得到的证据\(E\)，证据也对应了一些先验概率\(P(E)\)，指的是这条证据成立的概率。但我们此时需要思考的是这个证据与假设的关系，也就是假设如果成立的话，这个证据也同时成立的概率，我们把他叫做似然。换句话说，在这里指“图书管理员是一个温顺且办事井井有条的人”的可能性，记为\(P(E|H)\)，假设这个值是\(0.4\)。
我们现在需要知道“Steve是一个温顺且办事井井有条的人的条件下，Steve是图书管理员的概率”，也就对应着\(P(H|E)\)，它也叫后验概率，是我们依据证据信息\(E\)对先验概率\(P(H)\)的修正结果，下面是一些等式的推导：
这里出现了\(P(H,E)\)代表证据和假设同时成立的概率，它与\(P(H|E)\)不同。前者是在整个概率空间（即全概率1）中求取\(H,E\)同时成立的概率。后者是在假设\(H\)成立这个概率空间中求取\(H，E\)同时成立的概率（因为是在假设\(H\)成立的概率空间，\(H\)肯定成立了，因此也可以看做是求此时\(E\)成立的概率）。
值得注意的是为什么我们直觉性认为这个证据有助于让我们判定Steve是一个图书管理员，那是因为“农民（即不是图书管理员）是一个温顺且办事井井有条的人”记为\(P(E|\neg H)\)的可能性更小，假设这个值是\(0.1\)，它小于\(0.4\)。
\(P(H)\)和\(P(\neg H)\)是固定的，因此更大的\(P(E|H)>P(E|\neg H)\)意味着在\(P(E)\)中图书管理员的占比更大，这个占比对应的值也就是我们刚才计算得出的后验概率\(P(H|E)\)，因此这里直觉是正确的。
快速计算技巧
假定给出一个疾病的发病率为1%，病人被某种诊断手段判为阳性的概率为90%，非病人被判为阴性的概率为91%，假设现在你被测为阳性，你有多大概率患有该疾病。
这里同样可以进行一系列形式化定义，假设用\(T\)表示患病，\(F\)表示不患病，\(N\)表示阴性，\(P\)表示阳性。那么\(P(T)=0.01,P(P|T)=0.9,P(N|F)=0.91,P(T|P)=?\)
直接看到这一串数字，我们往往可能会直觉性的认为这个答案是90%。这种直觉来自于“病人被判为阳性的概率为90%”，语句顺序变化，即“阳性为病人的概率为90%”，答案也正确。通过之前的介绍，可以知道这里因果发生了导致，答案是可能发生变化的，从似然变成了后验概率。
与上述一样这里需要求给出证据\(P\)的后验概率\(P(T|P)\)。当然可以直接套公式计算，这里有小技巧，原本我们计算的是概率，可以通过计算比率，如下公式所示。
这里\(\frac{P(T)}{P(F)}\)很容易通过先验概率获得，而\(\frac{P(P|T)}{P(P|F)}=\frac{P(P|T)}{1-P(N|F)}\)也在已知条件中给出，它也叫做贝叶斯因子。贝叶斯因子反映了证据\(P\)是否有助于假设\(T\)的成立，如果值大于\(1\)就有助于，相反小于\(1\)则无异于。可以看出来如果证据与假设独立，即\(P(P|T)=P(P|F)=P(P)\)，则贝叶斯因子为\(1\)，并不能修改对假设的概率判定。