526互联

高精度加减乘除小数详解

发布时间 2023-08-15 20:27:03作者: typerxiaozhu

高精度

简介

众所周知，在计算机中，每个数据类型都是有存储上限的，那么当数字特别大时应该怎么办呢？这时高精度就产生了。高精度的主要思想就是模拟手算，然后将结果存储到数组中去，相同的，小数也有精度问题，也可以使用相同的思路

存储

这里使用vector 来进行存储，因为这样不需要去管结果有多少位，直接使用push_back() 函数就行了，虽然和数组比起来会慢一些，不过差别也仅仅是常数而已

输入：定义一个字符串，然后将字符串的每位转数字存储起来就行了

string a; vector <int> A; 
cin>>a;
for(int i=a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');

输出：请注意，输入的时候我是反过来的，这样做是为了添加元素比较方便，那么输出的时候也要注意倒着输出

for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);

高精度加法

上文中已经提到，在进行高精度运算是模拟手算的，那么接下来就来回忆一下，我们是怎么手动做加法的

图为用竖式做加法的示例，我们可以发现主要组成部分有两个加数、结果、还有进位，于是我们的变量就可以呼之欲出了

vector <int> A; vector <int> B; vector <int> C; int t;

然后我们再使用循环遍历（从0开始）来进行计算，循环位数较大的那个加数的每一位，然后加到 \(t\) 里面就行了

那么 \(C_i\) 就等于 \(A_i+B_i\) 再 \(mod~10\)，进位 \(t\) 就等于 \((A_i+B_i)/10\)

注意在循环完之后，如果 \(t\neq 0\) 的话，还要加上一位

代码模板

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;

vector<int> add(vector<int>& A,vector<int>& B)
{
	vector<int> C; 
	int t=0;
	for(int i=0;i<max(A.size(),B.size());i++)
	{
		if(i<A.size()) t+=A[i];
		if(i<B.size()) t+=B[i];
		C.push_back(t%10);
		t/=10;
	}
	if(t) C.push_back(t);
	return C;
}
int main()
{
	string a,b;
	cin>>a;
	cin>>b;
	vector<int> A;
	vector<int> B;
	for(int i=a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
	for(int i=b.size()-1;i>=0;i--) B.push_back(b[i]-'0');
	vector<int> C=add(A,B);
	for(int i=C.size()-1;i>=0;i--) cout<<C[i];
	return 0;
}

高精度减法

不带负数

首先，先回忆一下我们是怎么用竖式进行减法的

与加法不同，我们在列减法的竖式时会把大数放在上面，小数放在下面，因为减法涉及到借位的问题

所以说在计算机计算的时候，我们要先判断 \(A\) 是否 \(\geq B\)，如果 \(<B\)，为了避免增加代码量我们直接计算 \(-(A-B)\) 就行了

那么因为数字特别大，所以我们也需要手写一个比较函数，那么我们是怎么比较两个数的呢？

先比较哪个位数大，位数多的大，如果位数一样，那么分别比较每一位

bool cmp(vector<int>& A, vector<int>& B)
{
	if (A.size() != B.size())return A.size() > B.size();
	for (int i = A.size()-1; i>=0; i--)
	{
		if (A[i] != B[i]) return A[i] > B[i];
	}
	return true;
}

类似加法，变量分别为被减数，减数，结果，借位

使用循环遍历（从0开始）被减数的每一位

借位 \(t\) = \(A_i-(B_i)-t\)，如果说最终结果小于0，就要借一位，将 \(t+10\) 最后再 \(mod~10\) 便是 \(C_i\)

如果借位了 \(t=1\) 否则 \(t=0\)

注意：为了方便，我们直接不管结果是否小于0，每次都加10，因为如果结果不小于0的话 \(+10\) \(mod~10\) 就抵消了对结果不影响

最后还要去除前导0

while (C.size() > 1 && C.back() == 0)
{
	C.pop_back();
}

代码模板

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
bool cmp(vector<int>& A,vector<int>& B)
{
	if(A.size()!=B.size()) return A.size()>B.size();
	for(int i=A.size()-1;i>=0;i--)
	{
		if(A[i]!=B[i]) return A[i]>B[i];
	}
	return true;
}
vector<int> sub(vector<int>& A,vector<int>& B)
{
	int t=0;
	vector<int> C;
	for(int i=0;i<A.size();i++)
	{
		t=A[i]-t;
		if(i<B.size()) t-=B[i];
		C.push_back((t+10)%10);
		if(t<0) t=1;
		else t=0;
	}
	while(C.size()>1&&C.back()==0) C.pop_back();
	return C;
}
int main()
{
	string a,b;
	vector<int> A,B;
	cin>>a;
	cin>>b;
	for(int i=a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
	for(int i=b.size()-1;i>=0;i--) B.push_back(b[i]-'0');
	if(cmp(A,B)) 
	{
		vector<int> C=sub(A,B);
		for(int i=C.size()-1;i>=0;i--) cout<<C[i];
	}
	else 
	{
		vector<int> C=sub(B,A);
		cout<<'-';
		for(int i=C.size()-1;i>=0;i--) cout<<C[i];
	}
	return 0;
}

带有负数

  • 自然数 \(A\) 减负数 \(B\) 等于 $A+\vert B\vert $
  • 负数 \(A\) 减自然数 \(B\) 等于 \(-(\vert A \vert+B)\)
  • 自然数 \(A\) 减负数 \(B\) 等于 \(\vert A\vert+B\)
  • 负数 \(A\) 减负数 \(B\) 当 \(\vert A\vert\leq\vert B\vert\) 时，等于\(\vert B\vert -\vert A\vert\) 当 \(\vert A \vert>\vert B\vert\) 时，等于 \(-(\vert A\vert-\vert B\vert)\)

代码模板

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
bool cmp(vector<int>& A,vector<int>& B)
{
	if(A.size()!=B.size()) return A.size()>B.size();
	for(int i=A.size()-1;i>=0;i--)
	{
		if(A[i]!=B[i]) return A[i]>B[i];
	}
	return true;
}
bool cmp1(vector<int>& A,vector<int>& B)
{
    if(A.size()!=B.size()) return A.size()>B.size();
    for(int i=A.size()-1;i>=0;i--)
	{
		if(A[i]!=B[i]) return A[i]>B[i];
	}
	return false;
}
vector<int> add(vector<int>A,vector<int>B)
{
	vector<int> C; 
	int t=0;
	for(int i=0;i<max(A.size(),B.size());i++)
	{
		if(i<A.size()) t+=A[i];
		if(i<B.size()) t+=B[i];
		C.push_back(t%10);
		t/=10;
	}
	if(t) C.push_back(t);
	return C;
}
vector<int> sub(vector<int>& A,vector<int>& B)
{
	int t=0;
	vector<int> C;
	for(int i=0;i<A.size();i++)
	{
		t=A[i]-t;
		if(i<B.size()) t-=B[i];
		C.push_back((t+10)%10);
		if(t<0) t=1;
		else t=0;
	}
	while(C.size()>1&&C.back()==0) C.pop_back();
	return C;
}
int main()
{
	string a,b;
	vector<int> A,B;
	cin>>a;
	cin>>b;
    if(a[0]!='-'&&b[0]!='-')
    {
        for(int i=a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
        for(int i=b.size()-1;i>=0;i--) B.push_back(b[i]-'0');
        if(cmp(A,B)) 
	    {
		    vector<int> C=sub(A,B);
		    for(int i=C.size()-1;i>=0;i--) cout<<C[i];
	    }
	    else 
	    {
		    vector<int> C=sub(B,A);
		    cout<<'-';
		    for(int i=C.size()-1;i>=0;i--) cout<<C[i];
	    }
    }
	else if(a[0]=='-'&&b[0]!='-')
	{
        for(int i=a.size()-1;i>=1;i--) A.push_back(a[i]-'0');
        for(int i=b.size()-1;i>=0;i--) B.push_back(b[i]-'0');
        vector<int> C=add(A,B);
        cout<<'-';
        for(int i=C.size()-1;i>=0;i--) cout<<C[i];
    }
	else if(a[0]!='-'&&b[0]=='-')
	{
		for(int i=a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
        for(int i=b.size()-1;i>=1;i--) B.push_back(b[i]-'0');
        vector<int> C=add(A,B);
        for(int i=C.size()-1;i>=0;i--) cout<<C[i];
	}
	else if(a[0]=='-'&&b[0]=='-')
    {
        for(int i=a.size()-1;i>=1;i--) A.push_back(a[i]-'0');
        for(int i=b.size()-1;i>=1;i--) B.push_back(b[i]-'0');
        if(cmp1(A,B))
        {
            cout<<'-';
            vector<int> C=sub(A,B);
            for(int i=C.size()-1;i>=0;i--) cout<<C[i];
        }
        else
        {
            vector<int> C=sub(B,A);
            for(int i=C.size()-1;i>=0;i--) cout<<C[i];
        }
    }
	return 0;
}

高精度乘法

高精度乘低精度

高精度乘法与前面有所不同，在我们用竖式计算乘法时，都是一位对一位的，而在这里因为 \(b\) 比较小，所以我们直接拿大数的每一位去乘上 \(b\) 就行了，那么我们还是拿一个竖式举例：

先模拟一下这个例子：

\(C_0=(3×12)~mod~10=6\) \(t_1=3×12/10=3\) \(C_1=(2×12+t_1)~mod~10=7\) \(t_2=2×12/10=2\)

\(C_2=(1×12+2)~mod~10=4\) \(t_3=1×12/10=1\) \(C_3=t_3=1\)

那么最终的结果就是 1476

我们用循环遍历 \(A\) 的每一位就行了

如果最后 \(t\neq0\)，那么就添上 \(t~mod~10\)，注意因为我们是直接乘上 \(b\) 所以进位不一定是个位数，要用一个循环来做

代码模板

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int> mul(vector<int>& A,int B)
{
	int t=0;
	vector<int> C;
	for(int i=0;i<A.size();i++)
	{
		t+=A[i]*B;
		C.push_back(t%10);
		t/=10;
	}
	while(t) 
	{
		C.push_back(t%10);
		t/=10;
	}
	return C;
}
int main()
{
	string a;
	int B;
	cin>>a;
	cin>>B;
	vector<int> A;
	for(int i=a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
	vector<int> C=mul(A,B);
	for(int i=C.size()-1;i>=0;i--) cout<<C[i];
}

高精度乘高精度

因为两个数都很大，所以我们按照手算的方式进行计算，首先先举个例子：

我们可以发现 \(A_0×B_0\) 对应 \(C_0\) \(A_1×B_0\) 对应 \(C_1\) \(A_2×B_0\) 对应 \(C_2\) 以此类推……

我们可以得出 \(A_i×B_j\) 对应 \(C_i\)\(_+\)\(_j\)

那么进位 \(t\) 就等于\(C_i\)\(_+\)\(_j\)\(/10\)

与大数乘小数一样，最后还要添上 \(t\)，不过这里是模拟手算，不需要再循环了

因为不能直接往后添数，所以我们的答案先初始化长一点，否则无法存储 vector<int> C(A.size() + B.size() + 7, 0);

最后记得去除前导0

代码模板

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int> mul(vector<int>& A,vector<int>& B)
{
	vector<int> C(A.size()+B.size()+7,0);
	for(int i=0;i<A.size();i++)
	{
		int t=0;
		for(int j=0;j<B.size();j++)
		{
			C[i + j] += A[i] * B[j] + t;
			t = C[i + j] / 10;
			C[i + j] %= 10;
		}
		if(t) C[i+B.size()]+=t;
	}
	while(C.size()>1&&C.back()==0) C.pop_back();
	return C;
}
int main()
{
	string a,b;
	cin>>a; cin>>b;
	vector<int> A,B;
	for(int i=a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
	for(int i=b.size()-1;i>=0;i--) B.push_back(b[i]-'0');
	vector<int> C=mul(A,B);
	for(int i=C.size()-1;i>=0;i--) cout<<C[i];
}

注意：\(t\) 在一轮用完后要及时初始化为0，另外 \(t\) 一定要赋值为 \(C_i\)\(_+\)\(_j/10\)，因为当重叠时可能加法上又有进位。

高精度除法

大数除小数

首先，回想一下我们是怎么用竖式算除法的

我们可以发现几个变量分别是被除数、除数、商、余数

我们使用一个变量 \(r\) 来存储余数

因为计算机不像人那么聪明，所以一位一位来

首先看1，1除11不够，商0，余1

再看2，因为现在余1，所以变成10+2，12除11够，商1，余1，结束

我们就可以得到 \(r=r×10+A_i~mod~B\)，\(C_i=r×10+A_i~/B\)

注意因为我们除法是从前往后的，所以去除前导0的时候要先进行翻转

代码模板

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
vector<int> div(vector<int>& A, int& B,int& r)
{
	r=0; vector<int> C;
	for(int i=A.size()-1;i>=0;i--)
	{
		r=r*10+A[i];
		C.push_back(r/B);
		r%=B;
	}
	reverse(C.begin(),C.end());
	while(C.size()>1&&C.back()==0) C.pop_back();
	return C;
}
int main()
{
	string a;
	cin>>a;
	vector<int> A; int B;
	cin>>B;
	for(int i=a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
	int r;
	vector<int> C=div(A,B,r);
	for(int i=C.size()-1;i>=0;i--) cout<<C[i];
	cout<<endl;
	cout<<r;
}

压位

因为数组一个位置可以存很大的数，所以我们只存一个数有点浪费，所以我们可以使用压位这个技巧

我们先开两个全局变量 \(N=x\) \(M=10^x\) （x为你想压的位数）

输入的时候改成

int st=max(0,1-N+1),len=i-st+1;
A.push_back(a.substr(st,len)-'0');

注意所有 \(/10~mod~10\) 的操作均要修改成 \(/M~mod~M\)
输出的时候要先输出首位，因为输出的时候有可能不一定正好是 \(x\) 位数，要使用 printf("%04d",C[i])（以4位举例）
所以当输出完首位后，从C.size()-2开始

高精度小数

保留？位

首先，我们先算出整数部分，因为计算机不像手算，直接算出就可以了，不需要像手算一样一位一位算

然后我们回想一下手算是怎么算小数部分的，我们将上一位算得的余数乘10再除以除数就行了

示意图

代码模板

//c是位数
digit[0]=a/b;
a%=b;
for(int i=1;i<=c+1;i++)
{
	a*=10;
    digit[i]=a/b;
   	a%=b;
}
cout<<digit[0]<<'.';
for(int i=1;i<=c;i++) cout<<digit[i];

四舍五入

由于小数会出现循环，所以题目一般会给出一些要求，例如最后一位四舍五入

四舍五入即为 当数 \(>=5\) 进一位，\(<5\) 时舍去

不过我们需要注意，进位的时候可能会出现“多米诺骨牌”

例如 9.99999... 进位后会变成10.00000....，所以我们需要使用循环来处理

注意进位到整数位如果变成10不用管，因为我们是直接输出整数位的

代码模板

if(digit[c+1]>=5) digit[c]++;
for(int i=c;i>0;i--)
{
	if(digit[i]>=10)
    {
       	digit[i]-=10;
        digit[i-1]++;
    }
}

8进制转10进制

因为8进制小数能完美转换成10进制小数，所以我们就不用管保留几位的问题

举个例子，0.75如何转换成10进制呢?

\(7/8^1+7/8^2=0.953125\) 这样就转换完成了，不会的去补初一数学

于是我们就可以模拟手算(见上文保留？位)，再用数组进行存储就行了，因为题目也给出了范围 \(0<k<15\)，因为所有小数点后位数为n的八进制小数都可以表示成小数点后位数不多于3n的十进制小数。所以我们数组长度开个50就行了

还要注意进位的问题，与之前一样都是”多米诺骨牌“，所以要用循环

还要开一个变量，记录数组里面一共有多少位了方便输出

坑点：

pow返回的是double类型，所以要进行强转，因为 \(3^1\)\(^5\) 非常大，使用long long，所以 与它进行计算的 \(x\) 也必须是long long类型

答案有可能变成1点几，例如当输入为 0.898 时，网上很多人都没有注意到这一点，为此我们从数组的第一位开始，第0位专门留着防止进位变1

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
int digit[50];
int main() {
    string a;
    cin >> a;
    int t = 0;
    for (int i = 2; i <= a.size() - 1; i++) {
        ll x = a[i] - '0';
        int j = 0;
        while (x) {
            x *= 10;
            digit[++j] += x / (ll)pow(8, i - 1);
            int k = j;
            while (digit[k] >= 10) {
                digit[k] -= 10;
                digit[--k]++;
            }
            x %= (ll)pow(8, i - 1);
        }
        t = max(t, j);
    }
    cout << a << " [8] = " << digit[0] << '.';
    for (int i = 1; i <= t; i++) cout << digit[i];
    cout << " [10]";
    return 0;
}

棋盘放米

首先我们分析一下题目是什么意思，相信大家在上幂这一课，老师都讲过这个故事

第一个格子有 \(2^0\) 粒米，第二个格子有 \(2^1\) 粒米，……

我们在这里直接从1开始，不然全是0，第20个格子就遍历19次

注意这题的说法略微有些歧义，从第 \(n\) 个到第 \(m\) 个，应该第一次从 1 遍历到 \(n-1\) 第二次从 1 遍历到 \(m\)，然后将两次结果一减就行了，注意也要使用高精

接下来就是三位一撇的问题了，我是先将正序的结果存储下来，然后再根据位数对3进行取模，注意最后一位不要有逗号

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int> mul(vector<int>& A,int B)
{
	int t=0;
	vector<int> C;
	for(int i=0;i<A.size();i++)
	{
		t+=A[i]*B;
		C.push_back(t%10);
		t/=10;
	}
	while(t) 
	{
		C.push_back(t%10);
		t/=10;
	}
	return C;
}
vector<int> sub(vector<int>& A,vector<int>& B)
{
	int t=0;
	vector<int> C;
	for(int i=0;i<A.size();i++)
	{
		t=A[i]-t;
		if(i<B.size()) t-=B[i];
		C.push_back((t+10)%10);
		if(t<0) t=1;
		else t=0;
	}
	while(C.size()>1&&C.back()==0) C.pop_back();
	return C;
}
int main()
{
	int n,m;
    cin>>n>>m;
    vector<int> C,D,E,F;
    C.push_back(1); D.push_back(1);
    for(int i=1;i<n;i++) C=mul(C,2);
    for(int i=1;i<=m;i++) D=mul(D,2);
    E=sub(D,C);
	for(int i=E.size()-1;i>=0;i--) F.push_back(E[i]);
	int cnt=0;
	if(E.size()%3==0) cnt=3;
	else cnt=E.size()%3;
	for(int i=0;i<F.size();i++) 
	{
		cout<<F[i];
		if(i==cnt-1&&i!=F.size()-1) cout<<',',cnt+=3;
	}
    return 0;
}

n的阶乘

我们可以发现这题就是高精度乘低精度
我们直接将上一次得到的结果再乘当前的数就行了

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int> mul(vector<int>& A,int B)
{
	int t=0;
	vector<int> C;
	for(int i=0;i<A.size();i++)
	{
		t+=A[i]*B;
		C.push_back(t%10);
		t/=10;
	}
	while(t) 
	{
		C.push_back(t%10);
		t/=10;
	}
	return C;
}

int main()
{
	int B;
	cin>>B;
	vector<int> A; A.push_back(1);
	for(int i=B;i>=1;i--) A=mul(A,i);
	for(int i=A.size()-1;i>=0;i--) cout<<A[i];
}