引入

概率这种东西很玄学，就比如MuelsyseU只能毒池220抽玛恩纳，但daduoli的ototo却能在抽限定池时歪出来……

上述情况根本看不出概率的差别（~~不知道的甚至会以为歪出来的概率比抽毒池的高~~）。为了尽可能的将概率可视化，\(\color{red}\text{期望值}\mathbb{E}\)便诞生了。

\(\mathbb{E}\)在数值上可以简单理解为所有可能的值的加权平均数，这样确实比较直观（~~但冗长复杂的计算却恶心了无数数学家和Oier~~）

尽管\(\mathbb{E}\)非常难算，但有非常多的性质可以帮助我们计算。接下来就是亿堆期望值的芝士。

芝士

数学定义

如果\(X\)是概率空间\((\Omega,F,P)\)中的随机变量，那么期望值\(\mathbb{E}[X]\)的定义为
\(\mathbb{E}[X] = \int_\Omega XdF\)

用积分形式写主要是因为\(X\)可以使连续的随机变量，这样就不能使用和式表示。如果在oi中运用，\(X\)基本是离散变量，写成和式反而方便一点。

数学期望的线性性质

考虑计算投一个骰子得出点数\(X\)的期望值，这个只要懂期望值定义小学生也会算：\(\mathbb{E}[x] = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = 3.5\)

那来两个骰子呢？

相信你会脱口而出：\(7\)

那么这就是期望的线性性：\(\color{red}和的期望值 = 期望值的和\)

用数学语言表示就是\(\mathbb{E}[\sum\limits X] = \sum\limits \mathbb{E}[X]\)，换句话说\(\color{red}\mathbb{E}是线性函数\)

但是投两个骰子是两个独立事件，如果两个事件依赖呢？

其实线性性仍然成立，因为两个事件的独立和依赖只关系到概率而不关系到取值，所以期望的线性性不变，但如果相互独立就会拥有积性，可感性的集合相交。

如要更详细的数学语言证明可移步here