数论 全家

# 数论基本知识 ## 裴蜀定理 不定方程$a\cdot x+b\cdot y=c$有解当且仅当$c$是$\operatorname{gcd}(a,b)$的倍数。 **证明**： $$ \begin{aligned} &设集合S=\left\{ \left\vert \mu\cdot a+\nu\c ......

# 逻辑 ### 1. 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 $p\Rightarrow q$，则 $p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件。 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，$p\Rightarrow q$ 且 $q\not\Rightarrow p$。 $p$ 是 ......

# 1. 扩展欧几里得算法 ## 1.1. 介绍 扩展欧几里得算法用于求 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的一组特解（整数解）。 推导如下： 设 $\begin{cases}ax_1+by_1=\gcd(a,b)\\bx_2+(a\mod b)y_2=\gcd(b,a\mod b)\end{ca ......

小凯的疑惑 题面：Link 分析: 题意简述：给定两个互质的正整数$x,y$，求最大不能被表示成$ax+by$的数（$a,b$满足 $0 \le a,b$ 且为整数） 不妨设$x<y$ ,答案为$ans$ 如果： $ ans \equiv mx(mod\,y) (1 \le m \le y-1)$ ......

- ### 容斥原理 - $|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$ - $|\displaystyle \cup_{i=1}^n A_i |=\sum_{i}|A_i|-\sum_{i,j} ......

#### 整除分块 例题：[UVA11526 H(n)](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA11526) 复杂度保证： $$ \forall n \in\mathbb{N_+},|\{ \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rflo ......

## 1.基础 ### 数论函数 + 定义: 数论函数,就是值域为整数(陪域为复数)的函数 ### 狄利克雷卷积 两个**数论函数**的**狄利克雷卷积**是一个新的函数 比如 $f(n)$,$g(n)$ 它们的卷积就是 $f * g$ 怎么卷呢？ 定义: $\large{(f*g)(n)=\sum ......

### 1.[P1447](https://www.luogu.com.cn/problem/P1447) 题意：求 $$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m2\times (i,j)-1$$ 思考：原式等价于$2\sum\limits_{i=1}^n\sum ......

本文主要记录自己学习 OI 时用到的数论知识，内容偏进阶。 因为近期其实不太会用到多么高深的数论知识，所以很多内容是空中楼阁，是照抄 OI Wiki 而缺乏自己的理解，这些都等需要的时候慢慢补。这次写笔记主要在于建立起知识体系，知道有哪些东西要掌握。 那么开始。 ## 数论分块 基本的思想是集合 $ ......

参考博客： http://www.matrix67.com/blog/archives/234 https://www.cnblogs.com/1024th/p/11349355.html https://zhuanlan.zhihu.com/p/267884783 ## 素数的分布： ``` 10 ......

# Vue全家桶 先贴一下Vue3的官方文档： > 官方API文档： ## 1.前言：新旧时代交替 ### 1.1.开发变化 1.**网络模型的变化**： 1. 以前网页大多是b/s，服务端代码混合在页面里； 2. 现在是c/s，前后端分离，通过js api(类似ajax的方式)获取json数据，把 ......

# 前言 开个大坑。 # 正文 ## 最大公约数 - 取模运算性质 - $(a+b) \bmod p=((a \bmod p)+(b \mod p)) \mod p$ ，反之亦成立。 - $(a-b) \bmod p=((a \bmod p)-(b \mod p)) \mod p$ ，反之亦成立。 ......

Problem - E2 - Codeforces 给一个区间[L,R]，询问有多少三元组(i,j,k)满足L=<i<j<k<=r且lcm(i,j,k)>=i+j+k. 正难则反。我们可以考虑它的补集。 lcm<i+j+k,然后是i+j+k<3*k 所以lcm<3k,又因为k是lcm的因数，所以lc ......

#数论分块学习 ##用途 快速计算含有$\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor$的和式（$i$为变量） ##引理 ###引理1 $$ \forall a,b,c\in \mathbb{N_+},\quad \Big\lfloor \frac{a}{bc}\Big\rfloor=\bi ......

# 定义1.1整除 $a$整除$b$记为$a|b$ $a|b$指$\exists n\in \mathbb{Z},使得b=an$ # 定义1.2 - 1.整除的传递性：$a|b,b|c\Rightarrow a|c$ - 2.整除的可加性：$n|a,n|b\Rightarrow n|a\pm b$ ......

# 数论全家桶 [toc] ### 欧拉定理 1.结论 $$ ∀a,m∈Z且gcd(a,m)=1，a^{\varphi(m)}\equiv1\ (mod\ m) $$ 欧拉定理的一个常见用法是对指数降幂。 应用当mod数质数时，有 $$ a^b \equiv a^{bmod\phi(m)} (mod ......

- ### 欧拉函数 - 欧拉函数$\varphi(N)$ : 1-N中与N互质的数的个数 - 若$N = p_1^{a_1} · p_2^{a_2} · p_3^{a_3} ··· ·p_n^{a_n}$ 其中p为N的所有质因子 - 则$\varphi(N) = N(1-\frac{1}{p_1} ......

### 割边 对于一个无向图，如果删掉一条边后图中的连通分量数增加了，则称这条边为桥或者割边。严谨来说，就是：假设有连通图 $G=\{V,E\}$，e 是其中一条边（即 $e \in E$），如果 $G-e$ 是不连通的，则边 $e$ 是图 $G$ 的一条割边（桥）。 ### 割边判定法则 无向边 ......

## 二项式定理 $$ (x+y)^{n}= \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} x^{k} y^{n-k} $$ ## 二项式反演 $$ f_{n}=\sum_{i=0}^{n} {n\choose i}g_{i} \Leftrightarrow g_{n}=\sum_{i=0 ......

- ### 数论 - #### 质数 - 在大于1的整数中，只包含1和本身这两个约数，就被称为质数，也叫素数 - ##### 质数的判定 - ###### 试除法 - 遍历2-n，若有约数则不为质数 O(n) - 优化： - d整除n，则n/d也整除n，约数总是成对出现，只要找较小的约数，即取d 2 ......

## 前言： 可以会乱记一些技巧吧。 ### 交换求和顺序 如果不确定可以将条件写成 [A] 的形式，交换完求和顺序再把这个条件放里面。 例如： $$ \sum_{i=1}^n \sum_{d} [d | i] = \sum_{d=1}^n \sum_{i} [d|i] = \sum_{d=1}^n ......

###### @Coding: Typora+LaTeX ###### @Author : [DorinXL](https://dorinxl.gitee.io/)（[博客](https://www.cnblogs.com/DorinXL/)） ###### @Time : 2023/8/4 ## ......

## [P1390公约数的和](https://www.luogu.com.cn/problem/P1390) 简单莫反题。要求 $$ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^ngcd(i,j) $$ 可以先考虑问题的简化版： $$ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n ......

# 解析数论之原根 ## 目录 - Chapter1 什么是整数的次数，什么是原根 - Chapter2 谁有原根？ ## Chapter1 什么是整数的次数，什么是原根 - **Definition**： 对于$(a,m)=1,m\ge1$，考虑所有$a,a^2,a^3,\cdots$，我们通过欧 ......

点击查看代码 ``` %:pragma GCC optimize(3) %:pragma GCC optimize("Ofast") %:pragma GCC optimize("inline") %:pragma GCC optimize("-fgcse") %:pragma GCC optimi ......

#### GCD & exGCD 首先我们考虑辗转相除法的过程，因为 $(a,b)=(b \bmod a,a)(0<a<b)$，$(0,b)=b$，所以我们就可以每次将 $b$ 转化为严格更小的 $b$ 的问题。归纳则得到答案。 现在我们考虑扩欧的过程，我们需要对 $ax+by=1$ 找到一组解。那 ......

# 8.1 数论进阶（数论函数相关） 以下记 $F$ 为 $f$ 的前缀和。$n/m$ 表示 $\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor$。 ## 整除分块 1. $n/i$ 取值只有 $O(\sqrt{n})$ 种。 2. $a/(bc)=(a/b)/c$。 3. ......

## 前言 多项式乱七八糟的公式和做法实在是太多了，有点遭不住，写一个学习笔记，记录一下多项式的各种奇奇怪怪的模板。 ## 多项式乘法 ### 系数表示法 即用这个多项式的每一项系数来表示这个多项式。 对于一个 $n−1$ 次 $n$ 项多项式： $$ f(x)=\sum_{i=0}^{n−1}a_ ......

## 理论基础 ### 中国剩余定理及拓展 > 已知 $x \equiv a_i (\bmod p_i\ )$，求 $x \bmod \operatorname{lcm}\{p_i\}$ 的值。 - 若 $p_i$ 互质，那么我们只需要计算 $c_i$ 使得 $$ \prod\limits_{j \ ......

# 逆元 若 $ax=1\pmod p$，那么称 $a$ 是 $x$ 的逆元，显然 $x$ 也是 $a$ 的逆元。 两边同时除以 $a$ 得到 $x=\frac1a\pmod p$，可以写成 $x=a^{-1}\pmod p$，这么看来，乘法逆元就是取模意义下的倒数啊。 若 $p$ 为质数，$0$ ......