设\(\{a_{n}\}\)是一个无穷的实数列。
- 如果它收敛于一个有限的实数(极限存在)，那么它的任一子列都收敛于这个极限；
- 如果它的极限不存在，此时有两种情况。(1): \(\{a_{n}\}\)是有界的。由Bolzano-Weierstrass定理，我们知道\(\{a_{n}\}\)必存在收敛的子列。但收敛子列的个数可能为有限个，也可能是无穷多，在这种情形下，我们就要讨论所谓的上极限与下极限，后面我们将进行展开讨论；(2): \(\{a_{n}\}\)是无界的。那么总可以找到一个子列趋于正无穷或者负无穷，这种情形是平凡的(trivial)，不予讨论。
现在详细讨论情形(1)。
我们把数列\(\{a_{n}\}\)的某个收敛子列的极限称为\(\{a_{n}\}\)的一个极限点(聚点)。我们把这些不同的收敛子列的极限值放在一起形成一个新的集合，这个集合的上确界与下确界就是所谓的\(\{a_{n}\}\)的上极限与下极限。
对于上极限与下极限，有以下几种等价的表述(定义)：
- 设 \(\{a_{n}\}\) 是一个无穷实数列，\(E\) 是由 \(\{a_{n}\}\) 的全部极限点构成的集合，记$$\overline{a}=\sup E,\quad \underline{a}=\inf E,$$ 那么 \(\overline{a}\) 和 \(\underline{a}\) 分别称为数列 \(\{a_{n}\}\) 的上极限和下极限$$\overline{a}=\limsup\limits_{n \to \infty}{a_{n}},\quad \underline{a}=\liminf\limits_{n \to \infty}{a_{n}}.$$
- 可以将上下极限理解为"无穷远处"(下标无穷大时)的上下确界。当我们谈及无穷远时，则数列的前有限项就不重要了。此时我们只考虑如下的情形：
- 数列 \(\{a_{n}\}\), 对于一每个下标 \(n\)，考虑其以后的项, $$\xi_{n}=\inf\limits_{k \ge n}\{a_{k}\} = \inf\{a_{n}, a_{n+1},\dots\},$$ $$\beta_{n}=\sup\limits_{k\ge n}\{a_{k}\}=\sup\{a_{n}, a_{n+1},\dots\},$$ 那么 $$\xi_{n+1}=\inf\limits_{k\ge n+1}\{a_{k}\}=\inf\{a_{n+1}, a_{n+2},\dots\},$$ $$\beta_{n+1}=\sup\limits_{k\ge n+1}\{a_{k}\}=\sup\{a_{n+1}, a_{n+2},\dots\}.$$ $$\ldots$$ 由此可以看出 \(\{\xi_{n}\}\) 是单调递增数列， \(\{\beta_{n}\}\) 是单调递减数列。 而单调有界数列必有极限，得到数列 \(\{a_{n}\}\) 的上下极限：\(\overline{a}=\limsup\limits_{n \to \infty k\ge n} \{a_{k}\}\)，\(\underline{a}=\liminf\limits_{n \to \infty k\ge n} \{a_{k}\}\)
- 从拓扑的观点看，若在数 \(a\) 的任一邻域内都含有数列 \(\{a_{n}\}\) 的无限多项，则称 \(a\) 为 \(\{a_{n}\}\) 的聚点。 点列(数列)的聚点邻域内可以包含无限多个相同的项；而点集(数集)的聚点邻域中只能包含无限个不同的项。基于此我们称有界数列(点列) \(\{a_{n}\}\) 的最大聚点与最小聚点分别为数列 \(\{a_{n}\}\) 的上极限和下极限，记为 $$\varlimsup_{n \to \infty}a_{n}, \quad \varliminf_{n\to \infty}a_{n}.$$
- 用 \(\varepsilon\) 语言描述，就是：
- 若存在实数 \(\overline{a}\) 满足, 对任意 \(\varepsilon > 0\), 使得 \(a_{n} > \overline{a} + \varepsilon\) 成立的 \(n\) 只有有限项，而使得 \(a_{n} > \overline{a} - \varepsilon\) 成立的 \(n\) 存在无限个，则称其为 \(a_{k}\) 的上极限；
- 若存在实数 \(\underline{a}\) 满足, 对任意 \(\varepsilon > 0\), 使得 \(a_{n} < \underline{a} - \varepsilon\) 成立的 \(n\) 只有有限项，而使得 \(a_{n} < \overline{a} + \varepsilon\) 成立的 \(n\) 存在无限个，则称其为 \(a_{k}\) 的下极限。