七、设矩阵 $M=(m_{ij})$ 仅由 $0$ 和 $1$ 组成, 其主对角元全为 $0$, 且对任意的 $i\neq j$, $m_{ij}=0$ 当且仅当 $m_{ji}=1$, 这样的矩阵称为锦标赛矩阵. 求证: $r(M)\geq n-1$.
证法一 (代数方法) 一方面, 注意到 $M-M'$ 是实反对称阵, 故由高代白皮书第四版例 3.82 可知 $r(I_n+M-M')=n$. 另一方面, 注意到 $I_n+M+M'$ 是所有元素都等于 $1$ 的矩阵, 故 $r(I_n+M+M')=1$. 最后由矩阵秩的基本公式可得
$$r(M)=r(-2M')\geq r(I_n+M-M')-r(I_n+M+M')=n-1.$$
证法二 (几何方法) 设 $Mx=0$ 的解空间为 $V\subseteq\mathbb{R}^n$, $r(M)=r$, 则 $\dim V=n-r$. 由定义可知
$$M+M'=A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix}. \quad(*)$$
对任一 $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)'\in V$, 即 $M\alpha=0$, 有
$$\alpha'A\alpha=\alpha'(M+M')\alpha=\alpha'(M\alpha)+(M\alpha)'\alpha=0.$$
令 $U=\big\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)'\in\mathbb{R}^n\mid\sum\limits_{i=1}^nx_i=0\big\}$, 则 $U$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的 $n-1$ 维子空间. 对任一 $\alpha\in V\cap U$, 有
$$0=\alpha'A\alpha=2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_j=\Big(\sum_{i=1}^na_i\Big)^2-\sum_{i=1}^na_i^2=-\sum_{i=1}^na_i^2,$$
从而 $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$, 即 $\alpha=0$, 于是 $V\cap U=0$. 注意到 $V\oplus U$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间, 故
$$n=\dim\mathbb{R}^n\geq \dim(V\oplus U)=\dim V+\dim U=(n-r)+(n-1),$$
于是 $r(M)=r\geq n-1$. $\Box$
上述第七大题的两种证法恰好对应于证明矩阵秩的等式和不等式的两种大方法, 然而证法二 (几何证法) 并不是特别直观. 例如, 是怎样想到构造子空间 $U$ 来参与讨论的呢? 事实上, 这一几何证法有更加深刻的几何背景, 它需要二次型的如下结论.
[问题2023S11] 设实二次型 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 的正负惯性指数为 $p,q$, 集合 $S=\{U$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间 $\mid$ $U$ 中的任一向量 $\alpha$ 均满足 $f(\alpha)=0\}$. 求证:
$$\max_{U\in S}\dim U\leq n-\max\{p,q\}.$$
这是22级高代II每周一题第11题, 其证明留给读者完成. 下面我们利用这一结论证明如下命题.
命题 设 $M$ 是 $n$ 阶实矩阵, $A=\dfrac{1}{2}(M+M')$ 是其对称化, $p(A),q(A)$ 分别是 $A$ 的正负惯性指数. 证明: $r(M)\geq\max\{p(A),q(A)\}$.
证明 设 $f(x)=x'Ax$ 为相伴的实二次型. 设 $Mx=0$ 的解空间为 $V\subseteq\mathbb{R}^n$, 则 $\dim V=n-r(M)$. 对任一 $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)'\in V$, 即 $M\alpha=0$, 有
$$f(\alpha)=\alpha'A\alpha=\frac{1}{2}\alpha'(M+M')\alpha=\frac{1}{2}\alpha'(M\alpha)+\frac{1}{2}(M\alpha)'\alpha=0.$$
因此 $V\in S$, 从而由 [问题2023S11] 可得
$$n-r(M)=\dim V\leq n-\max\{p(A),q(A)\},$$
于是 $r(M)\geq\max\{p(A),q(A)\}$. $\Box$
证法三 (命题的推论) 由 $(*)$ 式可计算出锦标赛矩阵 $M$ 的对称化 $A$ 的正负惯性指数分别为 $p(A)=1$, $q(A)=n-1$, 于是由上述命题可得 $r(M)\geq\max\{p(A),q(A)\}=n-1$. $\Box$
参考文献
[1] 高代白皮书. 谢启鸿, 姚慕生. 高等代数 (第四版), 大学数学学习方法指导丛书. 复旦大学出版社, 2022.