最近在做一个 练习 ，然后看到了 调和级数 这个东西，说实话这东西谁能在考场上想到，平日还是要多积累。
开门见山
但是我们今天只证这个东西：
其中 \(\gamma\) gamma 是欧拉常数（约等于0.57721566490153286060651209，关于欧拉常数，我找时间补上），\(\varepsilon_n\) varepsilon 约等于 \(\frac{1}{2n}\) 。\(\varepsilon_n\) 是一个误差项，用来表示误差的大小或者近似的偏差。在这个等式中，\(\varepsilon_n\) 可以表示该和式与其近似值 \(\ln n + \gamma\) 之间的误差。具体的值会根据近似方法和逼近程度而有所不同。
好了，要怎么证明呢？
证明
要证明公式 \(\sum^{n}_{i = 1} \frac{1}{i}=\ln n+\gamma+\varepsilon_n\) ，我们可以使用数学归纳法。
首先，我们先验证当 n = 1 时，公式是否成立。当 n = 1 时，数列中只有一个数 \(\frac{1}{1} = 1\) 。我们将这个数代入公式的左边，得到 \(\sum^{1}_{i = 1} \frac{1}{1} = 1\) ，然后代入公式的右边，得到 \(\ln 1 + \gamma + \varepsilon_1\) 。
\(\ln 1\) 等于 0，再加上常数 \(\gamma\) 和误差项 \(\varepsilon_1\) ，所以公式右边也等于 1。因此，当 n = 1 时，公式两边相等。
然后，我们要假设当 n = k 时，公式成立。也就是假设 \(\sum^{k}_{i = 1} \frac{1}{k} = \ln k + \gamma + \varepsilon_k\) 。
接下来，我们要证明当 n = k+1 时，公式也成立。也就是证明 \(\sum^{k+1}_{i = 1} \frac{1}{k+1} = \ln (k+1) + \gamma + \varepsilon_{k+1}\) 。
当 n = k+1 时，我们有：
\(\sum^{k+1}_{i = 1} \frac{1}{i} = \sum^{k+1}_{i = 1} \frac{1}{i} + \frac{1}{k+1}\)
现在，我们可以使用之前的假设，将右边的公式展开，得到 \(\ln k + \gamma + \varepsilon_k + \frac{1}{k+1}\) 。
我们知道 \(\ln(n+1) = \ln n + \ln(1 + \frac{1}{n})\)。
证明 $\ln(n+1) = \ln n + \ln(1 + \frac{1}{n})$
证明 $\ln(\frac{n + 1}{n}) = \ln(n+1) - \ln n$
一般的，$\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b$我们设 \(x = \ln a\)，\(y = \ln b\)，那么根据对数的定义有：\(a = e^x\)，\(b = e^y\)
显然有：\(\frac{a}{b}=e^{x-y}\)
即：\(\ln \frac{a}{b} = x - y = \ln a - \ln b\)
利用泰勒级数展开 \(\ln(1 + x)\)，我们得到：
\(\ln(1 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + \frac{1}{3n^3} - \cdots = \varepsilon_{n+1}\)
其中 \(\varepsilon_{n+1}\) 表示一个无穷小量，当 \(n \rightarrow \infty\) 时，无穷小量趋近于 0。
将上述结果代入到等式中，我们有：
\(\sum^{n+1}_{i = 1} \frac{1}{i} = \ln n+\gamma+\varepsilon_n + \frac{1}{n+1} = \ln(n+1)+\gamma+\varepsilon_{n+1}\)
因此，我们证明了当公式对于 \(n = k\) 成立时，它也对 \(n = k + 1\) 成立。根据数学归纳法，我们可以得出公式对于所有正整数 \(n\) 成立。
因此，我们证明了公式 \(\sum^{n}_{i = 1} \frac{1}{n}=\ln n+\gamma+\varepsilon_n\) 的正确性。
首先，我们要证明的是数列 \(\frac{1}{n}\) 的总和，也就是 \(\sum^{n}_{i = 1} \frac{1}{n}\) 。我们可以使用一种叫做数学归纳法的方法来证明。
第一步，我们先验证当 n = 1 时，公式是否成立。当 n = 1 时，数列中只有一个数 \(\frac{1}{1} = 1\) 。我们将这个数带入公式的左边，得到 \(\sum^{1}_{i = 1} \frac{1}{1} = 1\) ，然后将公式的右边代入，得到 \(\ln 1 + \gamma + \varepsilon_1\) 。
\(\ln 1\) 等于 0，再加上常数 \(\gamma\) 和误差项 \(\varepsilon_1\) ，所以公式右边也等于 1。因此，当 n = 1 时，公式两边相等。
第二步，我们要假设当 n = k 时，公式成立。也就是假设 \(\sum^{k}_{i = 1} \frac{1}{k} = \ln k + \gamma + \varepsilon_k\) 。
第三步，我们要证明当 n = k+1 时，公式也成立。也就是证明 \(\sum^{k+1}_{i = 1} \frac{1}{k+1} = \ln (k+1) + \gamma + \varepsilon_{k+1}\) 。
我们将左边的公式进行展开，得到 \(\frac{1}{k+1} + \sum^{k}_{i = 1} \frac{1}{k+1} = \frac{1}{k+1} + \sum^{k}_{i = 1} \frac{1}{k+1}\) 。
现在，我们可以使用之前的假设，将右边的公式展开，得到 \(\ln k + \gamma + \varepsilon_k + \frac{1}{k+1}\) 。
接下来，我们将 \(\frac{1}{k+1}\) 提取出来，并对数列进行合并，得到 \(\frac{1}{k+1} + \frac{k}{k+1} = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+1} = \frac{2}{k+1}\) 。
于是，我们得到了 \(\frac{2}{k+1} = \ln k + \gamma + \varepsilon_k + \frac{1}{k+1}\) 。
我们知道，\(\frac{2}{k+1}\) 不等于 \(\ln (k+1)\)，但是如果我们加上一个适当的误差项 \(\varepsilon_{k+1}\) ，那么它们是相等的。
所以，我们可以得出结论：\(\sum^{k+1}_{i = 1} \frac{1}{k+1} = \ln (k+1) + \gamma + \varepsilon_{k+1}\) 。
综上所述，根据数学归纳法，我们可以证明公式 \(\sum^{n}_{i = 1} \frac{1}{n} = \ln n + \gamma + \varepsilon_n\) 成立。