高等数学

第三章微分中值定理与导数的应用

（1）在闭区间$[a,b]$上连续

（2）在开区间$(a,b)$上可导

（3）在区间端点处的函数值相等，即$f(a) = f(b)$，

那么在$(a,b)$ 至少存在一点$\xi(a<\xi<b)$，使得$f'(\xi)=0$

（1）在闭区间$[a,b]$上连续

（2）在开区间$(a,b)$上可导

那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi (a<\xi<b)$，使等式

$f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a)$

成立

如果函数$f(x)及F(x)满足$

（1）在闭区间$[a,b]$上连续

（2）在开区间$(a,b)$上可导

（3）对任意$x\in (a,b), F'(x) \neq0$

那么$(a,b)$内至少有一点$\xi$，使得等式

$$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$$

如果函数f(x)在含有x0的某个开区间（a,b）内具有直到n+1阶的导数，则对任意 $x\in(a,b)$有

$f(x) = f'(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+....+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R(n)$

$Rn(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

范围$\xi$介于$x_0和x之间, 也可记为\xi=x_0 + \theta(x-x_0), 0<\theta < 1$

${\displaystyle \int x^{\mu}dx}= \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+c (\mu\neq-1)$
${\displaystyle \int kdx}= kx +c (k为常数)$
${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}= ln|x| +c $
${\displaystyle \int \frac{dx}{1+x^2}}= arctanx +c$
${\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}= arcsinx +c $
${\displaystyle \int cosx}dx= sinx +c $
${\displaystyle \int sinx}dx= -cosx +c $
${\displaystyle \int \frac{dx}{cos^2x}}={\displaystyle \int sec^2x}dx= tanx +c $
${\displaystyle \int \frac{dx}{sin^2x}}={\displaystyle \int csc^2x}dx= -cotx +c $
${\displaystyle \int sinx\cdot tanx} dx= secx +c $
${\displaystyle \int cscx\cdot cotx} dx= cscx +c $
${\displaystyle \int e^x}dx= e^x +c $
${\displaystyle \int a^x}dx= \frac{a^x}{lna} +c $