11.对于 \(n\ge 0\)，求以下式子的封闭形式。
\[\sum_k(-1)^k{n\brack k}
\]
由于
\[\sum{n\brack k}x^k=x^{\overline n}
\]
原式即等于 \((-1)^{\overline n}=[n=0]\)。
12.证明斯特林反演。代入即可。
13.证明：
\[\vartheta^n=\sum_k{n\brace k}z^kD^k\\z^nD^n=\sum_k {n\brack k}(-1)^{n-k}\vartheta^k
\]
归纳证明上式。
\[\vartheta\circ(\sum_k{n-1\brace k}z^kD^k)\\
=\sum_k{n-1\brace k}z(kz^{k-1}D^k+z^kD^{k+1})\\
=\sum_k\left({n-1\brace k}k+{n-1\brace k-1}\right)z^kD^k\\
=\sum_k{n\brace k}z^kD^k
\]
边界条件显然成立。
对上式斯特林反演即得到下式。
注记：我们在什么时候用到呢？想想超几何函数的微分方程。
14.证明 Worpitzky 恒等式。
\[x^n=\sum_k\left\langle \begin{matrix} n\\k \end{matrix} \right\rangle\binom{x+k}{n}
\]
容易得知：
\[x\binom{x+k}{n}=(k+1)\binom{x+k}{n+1}+(n-k)\binom{x+k+1}{n+1}
\]
然后发现拆开右式的
\[\binom{x+k}{n}
\]
就可以归纳证明。
15.证明
\[m!{n\brace m}=\sum _k\left\langle \begin{matrix} n\\k \end{matrix} \right\rangle\binom{k}{n-m}
\]
对 Worpitzky 恒等式两边求 \(x\) 的 \(m\) 阶有限微积分得到：
\[\Delta^m(x^n)\mid_{x=0}=\Delta^m\left(\sum_k\left\langle \begin{matrix} n\\k \end{matrix} \right\rangle\binom{x+k}{n}\right)\mid_{x=0}\\
\sum_i \binom{m}{i}i^n(-1)^{m-i}=\sum_k\left\langle \begin{matrix} n\\k \end{matrix} \right\rangle\binom{k}{n-m}\\
\sum_k\left\langle \begin{matrix} n\\k \end{matrix} \right\rangle\binom{k}{n-m}=m!{n\brace m}\\
\]
解递归式：
\[A_{n,0}=a_n[n\ge 0];A_{0,k}=0,k>0;\\
A_{n,k}=kA_{n-1,k}+A_{n-1,k-1}
\]
只给答案是什么意思/yiw
设 \(F_n(x)=\sum A_{n,i}x^i\)。
可以发现，
\[F_n(x)=xDF_{n-1}(x)+xF_{n-1}(x)+a_n\\
=(\vartheta+x) F_{n-1}+a_n\\
=\sum (\vartheta+x)^{n-i}a_i\\
=\sum _i\sum_k\binom{n-i}kx^{n-i-k}\vartheta^{k}a_i\\
=\sum _k\sum_{p}{k\brace p}x^pD^p\sum _i\binom{n-i}kx^{n-i-k}a_i\\
=\sum _k\sum _i\binom{n-i}kx^{n-i-k}a_i\sum_{p}{k\brace p}(n-i-k)^{\underline p}\\
\]