通常用基于乘法循环群的双线性对比较多，而基于加法循环群的双线性对经常结合椭圆曲线使用，其中对性质的描述每篇文献都不尽相同，但基本道理是一样的。网上大部分是对前三条性质的介绍，第四条可交换性少有介绍，希望对大家有帮助。
学习笔记，出处是哪里忘记了，笔者不是理学专业学生，也未系统学习过群论，可能存在一定的错误。
1、基于乘法循环群的双线性对性质（常用）：
设G和GT是具有相同素数阶p的两个乘法循环群，g是群G的一个生成元，则双线性映射e:G×G→GT有如下性质：
（1）双线性：对任意的
和
，有
；
（2）非退化性：存在
，使得
；
（3）可计算性：对任意的，存在一个有效的算法计算；
（4）可交换性：对任意的，有；
2、基于加法循环群的双线性对性质：
设是素数阶的加法循环群，是素数阶的乘法循环群，则双线性映射有如下性质：
（1）双线性：对任意的和，有；
（2）非退化性：存在，使得；
（3）可计算性：对任意的，存在一个有效的算法计算；
（4）可交换性：对任意的，有，；