两道（以我现在的菜狗水平来看）爆算题，没啥感情，全是爆算。
\(M(x,y)\)，有 \(|MF_2|=|F_1F_2|=2c=e_2x-a_2=a_1-e_1x\)。
套路：离心率是比值，所以只需要将 \(a,b,c\) 某个值代入特殊值进行计算（最好能算得更简单一点）。
代入 \(a_2=1\)，那么 \(c=e_2,e_1=\frac{c}{a_1}\)，联立一下得到 \(\frac{e_2}{e_1}-e_1(2+\frac{1}{e_2})-2e_2=0\)
观点：题目里的条件都用到了，那么它应该可以解出来？
两边同时 \(\times e_1\) 并整理得到 \((\frac{1}{e_2}+2)e_1^2+2e_2e_1-e_2=0\)，\(\Delta=4e_2^2+4(\frac{1}{e_2}+2)e_2=(2e_2+2)^2\)，于是直接二次函数求根公式算出来 \(e_1=\frac{-2e_2+2e_2+2}{\frac{2}{e_2}+4}=\frac{e_2}{1+2e_2}\)，其中 \(e_2\in [\frac{3}{2},4]\)，于是很容易计算出 \(e_1\in [\frac{9}{4},\frac{8}{3}]\)。
来算一下 \(\tan \angle AOB=\tan(2\angle AOF)=\frac{2ab}{a^2-b^2}\)，同时由于 \(AO=a,AB=b+c\)，所以 \(\frac{2ab}{a^2-b^2}=\frac{b+c}{a}\)，整理得到 \(a^2b-a^2c+b^3+b^c=0\)，与 \(a^2+b^2=c^2\) 联立求解。
由于只有 \(a\) 仅出现二次幂，所以代入 \(a^2=c^2-b^2\) 得到 \(bc^2-c^3+2b^2c=0\)，这是齐次的，所以约去一个 \(c\) 再除以 \(b^2\) 得到 \(\frac{c}{b}-\frac{c^2}{b^2}+2=0\)，令 \(t=\frac{c}{b}\) 即 \(t^2-t-2=0\) 解得 \(t=2\)，也就是 \(b:c=1:2\)，于是 \(a:b:c=\sqrt 3:1:2\)，故离心率为 \(\frac{2\sqrt 3}{3}\)。
这里的思考观察到了式子是齐次的。