数学
1.积的形式与和的形式
恒等式，与普通的式子不同，如 \(\left(x-\alpha\right)\times\left(x-\beta\right)=0\) 这个式子：
\(\qquad \to\) 展开
\(\left(x-\alpha\right)\times\left(x-\beta\right)=x^2-\alpha x-\beta x+\alpha +\beta=0\)
\(\qquad \gets\) 因式分解
\(0=x^2+\left(-\alpha-\beta\right)x+\alpha\beta\)
\(0=\left(x-\alpha\right)\times\left(x-\beta\right)\)
\(\qquad \Updownarrow\)
\(0=x^2-\left(\alpha+\beta\right)x+\alpha \beta\)
在这个式子的展开中，第一个就是恒等式，无论如何取值答案都成立，而在下面的式子中，可以发现，‘解方程’与‘建立积的形式’之间有很密切的关系。
2.等比数列的和
可以对于每一个 \(\left(1+x+\dots+x^n\right)\left(1-x\right)\) 这个式子进行列竖式模拟，可得：
\(\left ( 1+x \right ) \times \left ( 1-x \right ) = 1-x^1\)
\(\left ( 1+x+x^2 \right ) \times \left ( 1-x \right ) = 1-x^2\)
\(\left( 1+x+x^2+x^3 \right) \times \left( 1-x \right) = 1-x^3\)
\(\dots\)
\(\left( 1+x+x^2+x^3+\dots+x^n \right) \times \left( 1-x \right) = 1-x^{n+1}\)
所以，等比数列 \(1+x^2+x^3+\dots+x^n\) 等于 \(\left(1-x^{n+1}\right)\div\left(1-x\right)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\)
等比数列通项公式
\(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\)
3.斐波拉契数列
封闭表达式
先设 \(f_n\) 表示为斐波拉契数列的通项，即可发现 \(f_0=0,f_1=1,f_n=\left\{\begin{matrix}0\left(n=0\right)\\1\left(n=1\right)\\f_{n-2}+f_{n-1}\left(n\ge2\right)\end{matrix}\right.\)
即 \(f_n=f_{n-2}+f_{n-1}\)，但这要进行 \(n-1\) 次加法计算，所以令 \(f_n\) 表示“关于 \(n\) 的有限项代数式”，则有 \(f_0,f_1,\dots,f_n \Leftrightarrow F\left(x\right)\)（\(F\left(x\right)\) 是生成函数），用式子表示出来则：
\(F\left(x\right)=f_{0}x^0+f_1x^1+f_2x^2+f_3x^3+f_4x^4+\dots\)
\(=\qquad 0x^0+1x^1+1x^2+2x^3+3x^4+\dots\)
\(=\qquad x+x^2+2x^3+3x^4+\dots\)
\(=\dots+f_{n-2}x^{n-2}+f_{n-1}x^{n-1}+f_{n}x^{n}+\dots\)
可以把其对应的式子写下来：
式子一：\(F\left(x\right)\times x^2=f_0x^2+f_1x^3+f_2x^4\dots\)
式子二：\(F\left(x\right)\times x^1=f_0x^1+f_1x^2+f_2x^3+f_3x^4+\dots\)
式子三：\(F\left(x\right) \times x^0=f_0x^0+f_1x^1+f_2x^2+f_3x^3+f_4x^4\)
式子一 \(+\) 式子二 \(-\) 式子三
用封闭表达式，即把几个互不相同的数都乘上一个相同的数 \(x\),就可以统一为 \(x^n\) 的形式，即：\(\left\{\begin{matrix}f_{n-2}x^{n-2}\times x^2\\f_{n-1}x^{n-1}\times x^1\\f_{n-0}x^{n-0}\times x^0\end{matrix}\right.\)。
在进行计算的时候，左边就变成了如下形式：
（左边）\(=F\left(x\right)\times x^2+F\left(x\right)\times x^1-F\left(x\right)\times x^0\)
则右边显然就变成了如下形式：
（右边）\(=f_0x^1-f_0x^0-f_1x^1+\left(f_0+f_1-f_2\right)\times x^2+\left(f_1+f_2-f_3\right)\times x^3+\dots+\left(f_{n-2}+f_{n-1}-f_{n}\right)\times x^n\)
\(=f_0x^1-f_0x^0-f_1x^1\)（因为 \(f_{n-2}+f_{n-1}-f_n=0,\forall n*0=0\)）
即，式子变成了以下形式：
\(F\left(x\right)\times \left(x^2+x-1\right)=+\left(-x\right)\)
两边化简，可得 \(F\left(x\right)=\frac{x}{1-x-x^2}\)
斐波拉契数列的封闭表达式
\(F\left(x\right)=\frac{x}{1-x-x^2}\)
解决通项公式
本文章参考《数学女孩》，删去其不必要部分，未完待续。