高考数学中的泰勒展开
引入
高考导数与函数和不等式密切相关，通过某点的泰勒展开我们可以用多项式估计某点附近的值。所以利用泰勒展开，可以在不等式和导数题起到很大的作用。在高考中泰勒展开式主要起到两点作用，一是估算，而是通过泰勒展开可以快速估算参数的取值范围。得到取值范围后，你大致可以猜到出题者的思路，对为后续的计算和推导起到很好的作用。
一些常用展开
下面是常用的泰勒展开，一般用前面的两到三项:
\[\begin{align}
e^{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}x^{n}+\cdots\\
\ln(1+x)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+1}x^{n+1}=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{n+1}x^{n+1}+\cdots,x\in(-1,1]\\
(1+x)^{\alpha}&=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^{n}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}x^{n}+\cdots,x\in(-1,1)\\
\frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}+\cdots,x\in(-1,1)\\
\frac{1}{1+x}&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots+(-1)^{n}x^{n}+\cdots,x\in(-1,1)\\
\sin x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\cdots\\
\cos x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}+\cdots\\
\tan x&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}=x+\frac{1}{3}x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}+\frac{17}{315}x^{7}+\frac{62}{2835}x^{9}+\frac{1382}{155925}x^{11}+\frac{21844}{6081075}x^{13}+\frac{929569}{638512875}x^{15}+\cdots,x\in(-1,1)\\
\cot x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}=\frac{1}{x}-\frac{1}{3}x-\frac{1}{45}x^{3}-\frac{2}{945}x^{5}-\cdots,x\in(0,\pi)\\
\sec x&=\sum_{\pi=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{5}{24}x^{4}+\frac{61}{720}x^{6}+\cdots,x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\\
\csc x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}2\left(2^{2\mathrm{n}-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}x^{2x-1}=\frac{1}{x}+\frac{1}{6}x+\frac{7}{360}x^{3}+\frac{31}{15120}x^{5}+\frac{127}{604800}x^{7}+\frac{73}{3421440}x^{2}+\frac{1414477}{65383718400}x^{11}+\cdots,x\in(0,\pi)\\
\end{align}
\]
选择题和填空题里的不等式，有些题考到对函数的估算，一般的放缩未必可以解决(本质上是泰勒展开的前几项)，构造函数求导，计算量也较大，作为选择题和填空题，花费的时间太多，用泰勒展开是最实际的，
一些例题
[2022 \(\cdot\) 新高考 Ⅰ 卷 7] 设 \(a=0.1e^{0.1},b=\frac{1}{9},c=-\ln0.9\)，则：
\(A.a<b<c\\B.c<b<a\\C.c<a<b\\D.a<c<b\)
解:由泰勒展开可得
\[a=0.1e^{0.1}>0.1(1+0.1+0.005)=0.1105\\
a=0.1e^{0.1}<0.1(1+0.1+0.01)=0.111\\
c=-\ln0.9=\ln(1+\frac{1}{9})<\frac{1}{9}-\frac{(\frac{1}{9})^2}{2}+\frac{(\frac{1}{9})^3}{6}<0.1052\\
\]
很显然 \(c<a<b\)
\(\therefore\) 选 C.
[2022 全国高考甲卷 12] 已知 \(a=\displaystyle\frac{31}{32},b=\cos\displaystyle\frac{1}{4},c=4\sin\displaystyle\frac{1}{4}\)，则：
\(A.c>b>a\\B.b>a>c\\C.a>b>c\\D.a>c>b\)
解:由泰勒展开可得
\[c=4\sin\frac{1}{4}>4(\frac{1}{4}-\frac{(\displaystyle\frac{1}{4})^3}{6})=1-\frac{1}{96}=\frac{95}{96}\\
b=\cos\frac{1}{4}>1-\frac{(\displaystyle\frac{1}{4})^2}{2}=\frac{31}{32}\\
b=\cos\frac{1}{4}<1-\frac{(\displaystyle\frac{1}{4})^2}{2}+\frac{(\displaystyle\frac{1}{4})^4}{24}<\frac{94}{96}\\
\]
很显然 \(c>b>a\)
\(\therefore\) 选 A.