[CF1601F]Two Sorts

link:https://codeforces.com/problemset/problem/1601/F

Description

有一个数列 \(\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}\) 是一个 \(1 \sim n\) 的排列，且所有的数都按照字典序排序，现在给出整数 \(n(1 \leq n \leq 10^{12})\) ，求 \(\left(\sum_{i=1}^n((i-a_i) \bmod 998244353)\right) \bmod 10^9+7\) ，注意这里 \(x \bmod y\) 的结果为正数。

Solution

好题！
我会暴力！爆搜合法字典序最小状态，复杂度 \(\mathcal O(n)\) 。
\(10^{12}\) 的范围，但看上去不像是能 \(\log\) 时间解决，于是考虑 meet in the middle。
不难发现字典序相近的数前缀相同，于是暴力预处理出后面 \(6\) 位的数，然后爆搜前面 \(6\) 位即可。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define vi vector<int>
#define eb emplace_back
using namespace std;

const int MOD1 = 998244353, MOD2 = 1e9+7, HAL = 1000000;

vi num[7];
LL cnt1, cnt2, sum[7], n, ans, po10[10] = {1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000};
void dfs1(int len, int x) {
	if (len == 7) return ;
	num[len].eb((cnt1-x+MOD1)%MOD1);
	sum[len] += (cnt1-x+MOD1)%MOD1;
	++cnt1;
	for (int i = 0; i <= 9; ++i)
		dfs1(len+1, x*10+i);
}

bool check(int x) {
	return 1ll*x*HAL+HAL-1 <= n && 1ll*x*HAL*10 > n;
}

void dfs2(int len, LL x) {
	if (x > n) return ;
	if (check(x)) {
		for (int i = 0; i <= 6; ++i) {
			LL del = ((cnt2+1-x*po10[i])%MOD1+MOD1)%MOD1;
			LL pos = lower_bound(num[i].begin(), num[i].end(), MOD1-del)-num[i].begin();
			(ans += (sum[i]+del*num[i].size()-MOD1*(num[i].size()-pos))) %= MOD2;
		}
		cnt2 += cnt1;
	} else {
		++cnt2;
		(ans += ((cnt2-x)%MOD1+MOD1)%MOD1) %= MOD2;
		for (int i = (!len); i <= 9; ++i)
			dfs2(len+1, x*10+i);
	}
}

int main() {
	scanf("%lld", &n);
	dfs1(0, 0);
	for (int i = 0; i <= 6; ++i) sort(num[i].begin(), num[i].end());
	cnt2 = -1;
	dfs2(0, 0);
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}