排队论——系统运行指标的R语言实现-526互联

排队论也称随机服务系统理论，排队论又叫随机服务系统理论或公用事业管理中的数学方法。它是研究各种各样的排队现象的。它所要解决的主要问题是:在排队现象中设法寻求能够达到服务标准的最少设备,使得在满足服务对象条件下，服务机构的花费最为经济,使服务系统效率最高。排队现象作为一种随机现象，所采用的主要工具是研究随机现象规律的概率论。它把所需研究的问题形象地描述成顾客（如电话用户、发生故障的机床等）来到服务台前（如电话线路维修工人等)要求接待，如果“服务台”已被其他顾客占用，那么就得排队等待;另一方面服务台”也时而清闲，时而忙碌。排队论就是人们通过数学方法求出顾客等待时间、排队长度等的概率分布，以便作出决策。目前排队论在社会生活的各方面已有广泛而深入的应用，如在水库用水量的调度、存储问题、生产流水线的安排、电力网的设计、铁路分车场的调度等方面都可运用排队论的基本理论来进行计算，从而获得合理的解决办法。

一、随机服务系统实例

现实生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象，上述问题都可以抽象为排队系统进行分析。排队系统又称服务系统，由服务机构和服务对象（顾客）构成。顾客到来的时刻和服务时间（即占用服务系统的时间）都是随机的。图1为一最简单的排队系统模型。排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。
智能仓库中配置多个搬运机器人，中心控制系统接收到订单后，经过分析拆解为相应的拣选任务，然后根据任务优先级，通过一定的分配算法，将任务分配给当前处于空闲状态的搬运机器人。这里，我们将订单看作顾客，搬运机器人看作服务台，不考虑系统对订单的处理及任务分配过程。那么，整个系统可以抽象为一个多服务台排队系统（M/M/C）。

二、排队系统运行指标

	M/M/1/∞/∞	M/M/1/N/∞	M/M/1/∞/m	M/M/C/∞/m
	标准模型	系统容量有限模型	顾客源有限模型	多服务台模型
		N=队伍容量+1	m=系统只有m+1种状态	单队，并列C个服务台
系统空闲的概率$P_0$	$P_0=1-\rho$	$P_0=\frac{1-\rho}{1-\rho^{N+1}}$	$P_0=\frac{1}{\sum^m \frac{m !}{(m-i) !} \rho^i}$	$P_0=\frac{1}{\sum^{c-1} \frac{1}{k !}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^k+\frac{1}{C !} * \frac{1}{1-\rho} *\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^c}$
系统有$n$个顾客的概率（顾客损失率）$P_n$	$P_{n=} \rho^n P_0=(1-\rho) \rho^n$	$P_{N=} \rho^N P_0$	$P_n=\frac{m !}{(m-n) !} \rho^n P_0$
系统至少有1个顾客的概率	$1-P_0=\rho=\frac{\lambda}{\mu}$
顾客的有效到达率		$\lambda_e=\lambda\left(1-P_N\right)$	$\lambda_e=\lambda\left(m-L_s\right)$
系统（每小时）顾客平均数	$L_S=\frac{\rho}{1-\rho}=\frac{\lambda}{\mu-\lambda}$	$L_S=\frac{\rho}{1-\rho}-\frac{(N+1) \rho^{N+1}}{1-\rho^{N+1}}$	$L_S=m-\frac{\mu}{\lambda}\left(1-P_0\right)$	$L_S=L_q+\frac{\lambda}{\mu}$
（每小时）等待服务的平均顾客数	$L_q=L_{s^{-}} \rho=\frac{\rho^2}{1-\rho}$	$L_{q=}=L_{S^{-}}\left(1-P_0\right)$	$L_q=L_s-(1-P_0)$	$ L_q=\frac{(C \rho)^C \rho}{C !(1-\rho)^2} P_0$
（每位）顾客在店内的平均逗留时间	$W_s=\frac{L_s}{\lambda}$	$ W_s=\frac{L_s}{\lambda_e} $	$W_s=\frac{L_s}{\lambda_e}$	$ W_s=\frac{L_s}{\lambda} $
（每位）顾客平均修理时间	$W_q=W_s-\frac{1}{\mu}$	$W_q=\frac{L_q}{\lambda_e} $	$W_q=\frac{L_q}{\lambda_e} $	$ W_q=\frac{L_q}{\lambda} $
$\lambda$：每小时到达店内人数				$\lambda$：每小时到达店内人数
$\mu$：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数				$\mu$：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
$\rho$：系统忙着的概率，	$\rho=\frac{\lambda}{\mu}$			$\rho$：系统忙着的概率，$\rho=\frac{\lambda}{c \mu}$

三、R语言计算

总结

参考文献

单服务台排队模型R实现
 怎么利用Python进行数学建模与分析？

node_exporter exporter指标系统

	M/M/1/∞/∞	M/M/1/N/∞	M/M/1/∞/m	M/M/C/∞/m
	标准模型	系统容量有限模型	顾客源有限模型	多服务台模型
		N=队伍容量+1	m=系统只有m+1种状态	单队，并列C个服务台
系统空闲的概率\(P_0\)	\(P_0=1-\rho\)	\(P_0=\frac{1-\rho}{1-\rho^{N+1}}\)	\(P_0=\frac{1}{\sum^m \frac{m !}{(m-i) !} \rho^i}\)	\(P_0=\frac{1}{\sum^{c-1} \frac{1}{k !}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^k+\frac{1}{C !} * \frac{1}{1-\rho} *\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^c}\)
系统有\(n\)个顾客的概率（顾客损失率）\(P_n\)	\(P_{n=} \rho^n P_0=(1-\rho) \rho^n\)	\(P_{N=} \rho^N P_0\)	\(P_n=\frac{m !}{(m-n) !} \rho^n P_0\)
系统至少有1个顾客的概率	\(1-P_0=\rho=\frac{\lambda}{\mu}\)
顾客的有效到达率		\(\lambda_e=\lambda\left(1-P_N\right)\)	\(\lambda_e=\lambda\left(m-L_s\right)\)
系统（每小时）顾客平均数	\(L_S=\frac{\rho}{1-\rho}=\frac{\lambda}{\mu-\lambda}\)	\(L_S=\frac{\rho}{1-\rho}-\frac{(N+1) \rho^{N+1}}{1-\rho^{N+1}}\)	\(L_S=m-\frac{\mu}{\lambda}\left(1-P_0\right)\)	\(L_S=L_q+\frac{\lambda}{\mu}\)
（每小时）等待服务的平均顾客数	\(L_q=L_{s^{-}} \rho=\frac{\rho^2}{1-\rho}\)	\(L_{q=}=L_{S^{-}}\left(1-P_0\right)\)	\(L_q=L_s-(1-P_0)\)	$ L_q=\frac{(C \rho)^C \rho}{C !(1-\rho)^2} P_0$
（每位）顾客在店内的平均逗留时间	\(W_s=\frac{L_s}{\lambda}\)	$ W_s=\frac{L_s}{\lambda_e} $	\(W_s=\frac{L_s}{\lambda_e}\)	$ W_s=\frac{L_s}{\lambda} $
（每位）顾客平均修理时间	\(W_q=W_s-\frac{1}{\mu}\)	$W_q=\frac{L_q}{\lambda_e} $	$W_q=\frac{L_q}{\lambda_e} $	$ W_q=\frac{L_q}{\lambda} $
\(\lambda\)：每小时到达店内人数				\(\lambda\)：每小时到达店内人数
\(\mu\)：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数				\(\mu\)：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
\(\rho\)：系统忙着的概率，	\(\rho=\frac{\lambda}{\mu}\)			\(\rho\)：系统忙着的概率，\(\rho=\frac{\lambda}{c \mu}\)