背景 - Moore-Penrose 伪逆矩阵：
- 对任意矩阵 \(A\in\mathbb C^{m\times n}\) ，其 Moore-Penrose 逆矩阵 \(A^+\in\mathbb C^{n\times m}\) 存在且唯一。
- 定义：若矩阵 G 满足 \(AGA=A,~ GAG=G,~ (AG)^H=AG,~ (GA)^H=GA\) ，则 G 是 Moore-Penrose 逆矩阵，可以记作 \(A^+\) 。
- 性质：\(A^+\) 满足 \(A^{++}=A,~ A^{H+}=A^{+H},\) \(\mathrm{rank}(A^+)=\mathrm{rank}(A),\) \(\mathrm{Range/Null}(A^+)=\mathrm{Range/Null}(A^H)\) 。
- \(A^+\) 求解方法 1（迹方法）：
- 令 \(A_{m\times n}\) 的秩为 r。
- 计算 \(B=A^TA\) 。
- 令 \(C_1=I_{n\times n}\) 。
- for i = 2 to r-1，计算 \(C_{i+1}=(1/i)\mathrm{tr}(C_iB)I-C_iB\) 。
- 得到 \(A^+=\frac{r}{\mathrm{tr}(C_rB)}C^rA^T\) 。
- \(A^+\) 求解方法 2（满秩分解法）：
- 若 A=FG 是满秩分解，则 \(A^+=G^H(F^HAG^H)^{-1}F^H\) 。
代码 0（matlab 内置函数）：直接使用 pinv() 函数。
代码 1（满秩分解法）：（fullrank_decompose 代码见 代码存档）
function [B] = moore_penrose_pinv(A)
% using full rank decomposition
[m,n] = size(A);
[F,G] = fullrank_decompose(A);
B = G'*(F'*A*G')^(-1)*F';
end
代码 2（迹方法）：
function [X] = moore_penrose_pinv2(A)
% using trace method
[m,n] = size(A);
r = rank(A);
B = A'*A;
C = eye(n);
for i = 1:r-1
C = 1/i*trace(C*B)*eye(n)-C*B;
end
X = r/trace(C*B)*C*(A');
end
测试代码：
A = [7 12 7 6 9
17 32 18 15 14
14 20 12 14 16
15 16 11 14 18];
B = moore_penrose_pinv2(A)
计算结果：
octave:5> source("my_script.m")
B =
-0.175926 0.212037 -0.619907 0.474074
0.112434 -0.043783 0.226257 -0.223280
0.041005 0.120503 -0.391601 0.233862
-0.400794 -0.100397 0.627579 -0.279365
0.333333 -0.133333 0.066667 -0.066667
octave:6> source("my_script.m")
B2 =
-0.175926 0.212037 -0.619907 0.474074
0.112434 -0.043783 0.226257 -0.223280
0.041005 0.120503 -0.391601 0.233862
-0.400794 -0.100397 0.627579 -0.279365
0.333333 -0.133333 0.066667 -0.066667
两份代码的计算结果一致，代码正确。