第7章-非线性方程求根

不动点：对于$f(x)$，若存在$a$使得$f(a)=a$，则称 $x=a$为$f(x)$的不动点。

参考链接：§1.2.6 不动点

7.1.2 简单迭代法（Jacobi迭代）

\[f(x)=0 \iff x = \phi(x) \]

利用$x_{k+1} = \phi(x_k)$迭代求解不动点，即得方程的根。

【例】求$f(x)=x^3-x-1=0$，在 $x=1.5$ 附近的根。

\[x^3-x-1=0 \Rightarrow x=\sqrt[3]{x+1} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_0 = 初始值 \\ x_{k+1} = \sqrt[3]{x_k+1}, k =0,1,2,\dots \end{array} \right. \]
计算：
$ x_0 = 1.5$
$ x_1 = \sqrt[3]{x_0+1} = \sqrt[3]{1.5+1} = 1.35721 $
$ x_2 = \sqrt[3]{x_1+1} = 1.33086 $
$\dots$
$ x_6 = 1.32473$
$ x_7 = 1.32472$
$ x_8 = 1.32472$

\[x^* \approx 1.32472 即为方程的根 \]

$\left\{ x \right\}$

迭代收敛判定：

对于方程 $x=\phi(x), \phi(x) \in C[a,b] $ ，若

（1）当$x \in [a,b] $ 时，$\phi(x) \in [a,b]$
（2）$\exists 0 \leq L < 1$，使得$|\phi'(x)| \leq L < 1 $ 对 $ \forall x \in [a,b]$ 成立。

则任取$x_0 \in [a,b]$ ，由 $x_{k+1}=\phi(x_k) $ 得到的序列$\left\{ x \right\}_{k=0}^{\infty}$ 收敛于 $\phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上的唯一不动点。

并且有误差估计：

\[\begin{align} & ① |x^*-x_k| \leq \frac{1}{1-L}|x_{k+1}-x_k|\nonumber\\ & ②|x^*-x_k| \leq \frac{L^k}{1-L}|x_{1}-x_0| , \ (k=1,2,\dots) \nonumber \end{align} \]

\[\]

且存在极限 $\lim_{k\rightarrow \infty}{ \frac{x^* - x_{k+1} }{x^*-x_k}} = \phi'(x^*)$