洛必达法则
用于处理 \(\frac{0}{0}\) 或者 \(\frac{\infty}{\infty}\)。
定理 1：
- 当 \(x\to a\) 时，\(f(x)\to 0,F(x)\to 0\).
- 在 \(a\) 的去心领域内 \(f'(x),F'(x)\) 存在，且 \(F'(x)\ne 0\)。
- \(\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}\) 存在（或无穷大）。
则 :
\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}
\]
定理 2：
- \(x\to \infty, f(x) \to 0, F(x) \to 0\)
- 当 \(|x|>N\) 时 \(f'(x),F'(x)\) 都存在且 \(F'(x) \ne 0\)
- \(\lim_{x\to infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}\) 存在（或为无限大）。
不要无脑求导，求导完注意判断当前是否满足洛必达法则条件。
各类函数的增速比较：
\(\ln x < \sqrt{n} < x^{2} < e^{x}\)
当 \(\lim \frac{f'(x)}{F'(x)}\) 不存在，本方法无效。
一般多次求导。
求导后检查是否符合条件。
等价无穷小进行替换。