前言

本文使用Python实现了PCA算法，并使用ORL人脸数据集进行了测试并输出特征脸，简单实现了人脸识别的功能。

环境配置：

matplotlib==3.7.2
numpy==1.25.2
opencv_python==4.8.1.78

1. 准备

ORL人脸数据集共包含40个不同人的400张图像，是在1992年4月至1994年4月期间由英国剑桥的Olivetti研究实验室创建。此数据集包含40个类，每个类含10张图片。所有的图像是以PGM格式存储，灰度图，图像大小为 92 x 112像素。

对于每个类，我们选择前7张图片用于训练，后3张图片用于测试。我们将图像缩放至原来的0.5倍，以加快训练速度。最后选择100个特征向量进行降维。

import os
import cv2
import numpy as np
from typing import Union, LiteralString
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

scaled = 0.5 # 图像缩放至原来的scaled倍
train_num = 7   # 7张用于训练
img_num = 10    # 总共10张图片
num_k = 100 # 选择100个特征
save_path = './ORL_eigenfaces'
dataset_path = '../dataset/ORL/att_faces/'
cov_matrix_path = './PCA_ORL.npy'

2. 数据集处理

将每个类的前7张图片使用img2np转为一维向量，作为训练集。并计算每个类前7张图片的平均特征向量，用于后面的对比。

# 图像转为一维向量
def img2np(img_path: Union[str, LiteralString], scaled: float = 1.) -> np.ndarray:
    img = cv2.imread(img_path)
    h, w = img.shape[0], img.shape[1]
    img = cv2.resize(cv2.imread(img_path), (int(h * scaled), int(w * scaled)))
    if img.shape[-1] > 1:
        img = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGRA2GRAY)
    return np.array(img).flatten()

class_names = os.listdir(dataset_path)
print(f'数据集总共有 {len(class_names)} 个类')

# 列表示特征值，行表示图像
samples_data = []
avg_feature = [] # 每个类的平均特征

for class_name in class_names:
    class_path = os.path.join(dataset_path, class_name)
    img_names = os.listdir(class_path)
    class_feature = [] # 计算每个类前train_num的平均特征
    for img_name in img_names[:train_num]:  # 取前七张参与训练
        img_data = img2np(os.path.join(class_path,img_name), scaled=scaled)  
        
        samples_data.append(img_data)
        class_feature.append(img_data)
        
    avg_feature.append(np.array(class_feature).mean(axis=0))
samples_data = np.array(samples_data)
avg_feature = np.array(avg_feature)

print(f'数据集特征矩阵形状： {samples_data.shape}，平均特征矩阵形状：{avg_feature.shape}')

数据集总共有 40 个类
数据集特征矩阵形状： (280, 2576)，平均特征矩阵形状：(40, 2576)

3. PCA降维

PCA计算时间较长，因此建议先对图像进行缩放，并保存降维后的特征矩阵，方便后续调用。

# PCA算法保留前k个特征向量
def pca(X: np.ndarray, k: int) -> np.ndarray:  
    
    # 计算每个特征均值
    mean = np.mean(X, axis=0)
    # 数据标准化
    norm_X = X - mean
    # 计算协方差矩阵
    cov_matrix = np.cov(norm_X, rowvar=False)
    # 计算特征值与特征向量
    eig_val, eig_vec = np.linalg.eig(cov_matrix)
    abs_eig_vec = np.abs(eig_val)
    # 按照特征值的绝对值大小增序排序
    sorted_Index = np.argsort(abs_eig_vec)

    # 选择前k个特征值对应的特征向量
    selected_vectors = eig_vec[:, sorted_Index[-k :]]
    # 低维投影
    return selected_vectors

if os.path.exists(cov_matrix_path):
    pca_vectors = np.load(cov_matrix_path)
else:    
    pca_vectors = pca(samples_data, num_k) # 选择100个特征向量
    np.save(cov_matrix_path, pca_vectors) # 训练时间较长，可以保存方便调用
print(f'PCA降维后的特征矩阵形状： {pca_vectors.shape}')

PCA降维后的特征矩阵形状： (2576, 100)

4. 测试

假设有C个类，每个图像的特征值数为N，降维后选取的特征向量数为K。

首先对类的平均特征矩阵进行降维，降维后的矩阵形状为（C x K）。

测试时：

对每张测试图片进行降维：图像特征（1 x N）与PCA降维特征向量（N x K）相乘；
对第一步得到的结果与平均特征矩阵的每一行（每一行大小为1 x K）进行余弦相似度比较得到C个数；
选择C个数中最大的下标，就是预测的类别。

# 计算余弦相似度
def cosine_similarity(vec1: np.ndarray, vec2: np.ndarray):
    # 向量点乘
    dot_product = np.dot(vec1, vec2)

    # 计算L2范数
    magnitude1 = np.linalg.norm(vec1)
    magnitude2 = np.linalg.norm(vec2)

    # 计算余弦相似度
    return dot_product / (magnitude1 * magnitude2)

pca_avg_feature = np.dot(avg_feature, pca_vectors) # 进行降维
print(f'PCA降维后的平均特征矩阵形状： {pca_avg_feature.shape}')

PCA降维后的平均特征矩阵形状： (40, 100)

test_res = []
correct = 0
wrong = 0
for i, class_name in enumerate(class_names):
    class_path = os.path.join(dataset_path, class_name)
    img_names = os.listdir(class_path)
    true_label = i
    for img_name in img_names[train_num: img_num]:
        img_data = img2np(os.path.join(class_path, img_name), scaled=scaled)
        predict_img = np.dot(img_data, pca_vectors)
        similarity = []
        for j in pca_avg_feature:
            similarity.append(cosine_similarity(j, predict_img))
        predict_label = np.argmax(similarity)
        if true_label == predict_label:
            correct += 1
        else:
            wrong += 1
        test_res.append((true_label, predict_label))
accuracy = correct / (correct + wrong)
print(f'Total samples: {correct + wrong}, correct: {correct}, wrong: {wrong}, accuracy: {accuracy:.4f}')

Total samples: 120, correct: 111, wrong: 9, accuracy: 0.9250

5. 结果展示

将特征向量保存为特征脸并输出。此处注意下，缩放后的图像大小为56 x 46，但保存的特征脸大小为 46 x 56。

# 保存前k个特征向量的特征脸
def save_eigenfaces(eigenvectors: np.ndarray,
                    k: int,
                    img_size: tuple[int, int],  # (h, w)
                    path: Union[str, LiteralString]) -> bool:
    if os.path.exists(path) is False:
        os.mkdir(path)  # 创建保存路径文件夹
    for i in range(k):
        eigenfaces = np.real(eigenvectors[:, i])
        
        # 对特征向量进行归一化，投影到0-255的灰度空间
        norm_eigenfaces = ((eigenfaces - np.min(eigenfaces)) /
                                 (np.max(eigenfaces) - np.min(eigenfaces)) * 255)
        norm_eigenface_uint8 = norm_eigenfaces.astype(np.uint8)
        shaped_eigenface = norm_eigenface_uint8.reshape(img_size)
        cv2.imwrite(os.path.join(path, f'eigenfaces{i}.png'), shaped_eigenface)
    return True

save_eigenfaces(pca_vectors, 100, (46, 56), save_path)  # 原大小为112 x 92，缩放后为56 x 46

True

plt.figure(figsize=(8, 8))
for i in range(16):
    plt.subplot(4,4,i+1)
    plt.imshow(cv2.imread(os.path.join(save_path, f'eigenfaces{i}.png')))
    plt.title(f'eigenfaces{i}')
    plt.xticks([])
    plt.yticks([])
plt.show()

png